合数数列(质数列有什么规律)

作者|刘瑞祥

来源|小故事

编辑|遇见数学

这篇文章原创性很低，但我希望大家看完之后，能“真正”读懂，真正明白其中的道理，而不是囫囵吞枣。本文论述初等数论中三个非常重要的定理(算法)，它们都来自于《几何原本》。

一、预备知识如果两个数都能被第三个数整除，那么这两个数的和与差都会被第三个数整除。如果有两个数，只有一个能被第三个数整除，那么这两个数的和与差一定不能被第三个数整除。

二、辗转相除法的原理

有两个数，如果你想求它们的最大公约数，可以把这个大数除以小数，取余数(肯定比第一个小，我们不妨把这一步得到的余数叫做第一个)，然后把第一个除以第一个，再取余数(即第二个)，然后把第一个除以第二个得到第三个，第二个除以第三个得到第四个……直到余数为。

例:设前两个数为和，除以得到第一个余数，再除以得到第二个余数，再除以得到第三个余数，就是3。因为12能被3整除，所以3是最大公约数。

→和的最大公约数是。

原因很简单:取余数，其实可以看作是从书上不断减法，直到减不出来。但是，公约数(不管是不是最大的)就是公约数，也就是两者的倍数。所以不断地从中减去，得到的余数(这里是第一个余数)当然是的倍数，这就是前面提到的预备知识。辗转反侧，每次得到的余数当然是的倍数。直到你得到这个，也就是可分的。

为什么这是最大公约数？因为如果不是最大的，换句话说还有更大的，比如。然后这一个是上一个流程“跳过”的。那么显然违背了初步知识。因为任何一步中两个数的约数本来都满足预备知识，结果必然有不满足的地方。

以上是著名的欧几里德算法，但欧几里德的话远比这个严谨。这个算法有什么用？相比小学时的短除法，它最大的好处就是不用一个一个去试一个数是不是公约数。短除法对于大数来说很麻烦。比如求和的最大公约数，就需要一个一个的尝试。如果给定的两个数较大，特别是两个数的公素数因子较大，那就更麻烦了(最近有个老师让学生计算和的最大公约数，很多学生连算都算不出来)。另外，利用辗转相除，我们可以马上得出一个结论:两个相差为0的正整数互质。

三、最大公约数和最小公倍数的关系

这个关系很简单:两个数的最大公约数和最小公倍数，它们的乘积等于原来两个数的乘积。

首先我们来看两个互质数的情况:互质数的最大公约数是，最小公倍数是这两个数的乘积，显然符合这个关系，但是任意两个正整数呢？

这种关系不难理解，假设两个数，，的最大公约数是，，显然，括号里的恰好是最小公倍数。如果还有人觉得不安，可以回忆一下短除法的计算过程:对于两个数的情况，相乘在一起的“边”是最大公约数，相乘在一起的“边”和“底”(无论是计算最大公约数还是最小公倍数，边都只取一次)是最小公倍数。

四、质数有无穷多个的证明

这个定理的证明方法有很多种，但最简单的是这样的:假设素数是有限的，如果所有素数相乘并相加，那么新得到的数一定与所有素数的乘积互质，即不能被所有已有的素数整除，所以它是一个新的素数。这与前一个相矛盾。

需要注意的是，这并不是说将多个素数相乘并相加得到一个新的素数。其实也有可能得到一个能被其他素数整除的合数。比如，，都是质数，其实不然。它们是的倍数，注意它们不是。

连续乘法的方法也可以用来寻找任意长度的连续合数序列。比如我要生成一个连续的合数，我可以先计算，然后用这个结果加，加，加，直到加完为止。因为包含的每个因子，加法是的倍数，加法是的倍数，以此类推。可想而知，这样获得几百万个连续合数是没有问题的。但是这样得到的序列肯定不会是最小的，就是以这个题目为例，其实在这之前我们有七个连续的五位数序列，还有几个连续的五位数序列比如、、、、、、等等。另外，不仅乘法到加法直到加法都是合数，前面的都是合数，也就是说，连续十三个数都是合数。

一方面，质数是无穷无尽的；另一方面，连续的数字序列可以有多长就有多长。多么神奇的数学。

另外，我想说一点:初等数论是小学数学中非常特殊的内容。它的计算和小学数学的其他部分有明显的不同，主要是对逻辑的要求更高。如果只让学生死记硬背，生搬硬套这些内容，那就太可惜了。虽然不要求学生为任何人写的论文写数学计算，但数学计算是最重要的。至于有些老师总认为学生可能不懂道理，我只能说:如果你不开发学生的思维能力，那么学生就永远不会开发思维能力。思维能力的培养是漫长而艰巨的，但不可或缺。为什么五年级学生不能理解整除数的特性？因为他在四年级的时候没有发展出相应的能力，为什么四年级的时候没有发展出来呢？因为他三年级的时候……老师总是把最后的结论告诉学生，就像厨师总是先把菜做好再端上来一样，顾客是永远学不会做菜的。