素数有哪些(素数指的是什么)

2^82,589,933-1!

这个数字大约有2500万位数，是人类迄今为止发现的最大的素数。

近日，来自美国佛罗里达州的程序员帕特里克·拉罗什(Patrick Laroche)利用互联网梅森素数搜索项目(GIMPS)成功发现了这个24862048位数的素数，这也是人类发现的第51个梅森素数，命名为M82589933。帕特里克·拉罗什也赢得了3000美元的奖金。

数字ὀ是迄今为止最大的质数(来源:GIMPS)

在这一发现之前，第50届梅森素数备受瞩目。2018年1月13日，日本一家出版社为第50届梅森素数(mersenne prime)制作了一本书，据报道，这本书在4天内售出了1500本。发布两周后，迅速攀升至日本亚马逊数学“畅销书第一”。

图|最大素数的本地显示(来源:QUARTZ)

在这个发现中，主人公帕特里克·拉罗什(Patrick Laroche)并不是一个专门研究数学的数学研究者。其次，GIMPS项目不仅仅是数学家可以使用的数学工具，而是每个人都可以使用的数学工具。

90年代中后期，在美国程序员wortmann和Kulwowski的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——互联网梅森素数搜索(GIMPS)。人们只要从GIMPS的主页下载一个计算梅森素数的免费程序，就可以立即加入这个项目，搜索新的梅森素数。Patrick Laroche是数千名尝试使用GIMPS的志愿者之一。

要知道，以前人类寻找这种质数的方式非常简单粗暴，但是得到的却很少。

比如100以内的质数，最简单的方法就是“试”——写出100个数，按质因数逐一分解。不能分解的是质数。图中质数用黄色标注，100以内有25个质数。在这样的操作中，首先我们要把所有的数字都写出来，然后一个一个的识别。找100以内的质数不算太麻烦，但是1000或者10000以后呢？这种方法不实用。

那么我们可以用另一种方法——“筛选法”。简单来说，我们可以反复筛选100以内的数，剩下的就是我们想要的质数。先去掉100以内的2的倍数，再去掉3的倍数，再去掉5和7的倍数，以此类推。最后只剩下我们的25个质数。这种“筛选方法”比较简单。它是由古希腊哲学家厄拉多塞首先提出的。他也是第一个测量地球的人。他是个天才。

找出素数后，数学家们疑惑，有没有办法解决所有素数的分布或者素数的计算公式？

以下是一些著名的猜想:哥德巴赫猜想、孪生素数、今年热议的黎曼猜想。所有这些著名的猜想都阐述了素数的分布，但尚未得到充分的证明。

数学家能不能找到一个公式，证明这个公式算出的数一定是质数？这就是著名的“梅森素数”。

|法国数学家马林·梅森(1588-1648)

古希腊数学家欧几里德是第一个研究梅森素数的人。早在公元前300年，他就开创了梅森素数的研究。他的名著《几何》第九章提到了梅森素数和完全数的概念。

之后，17世纪法国数学家马林·梅森开始研究梅森素数，并在欧几里德、费马等人相关研究的基础上，对梅森素数做了大量的计算和验证。

“梅森素数”就是这样一类数，由公式Mp=2p-1确定。当p是合数时，Mp一定是合数。但当p是质数时，Mp不一定是质数。比如最小的梅森素数是M2=22-1=4-1=3，但是M11=211-1=2047=23*89不是素数。

1644年，梅森在其著作《物理数学随想》中总结了M2和M257之间的所有梅森素数。虽然有一些瑕疵(M67和M257都不是质数)，但那是在那个只有写不好和记性好的年代。算出这些巨大的数字，比如2257-1，并验证它们是否是质数，这确实是一个巨大的工程。

为了纪念梅森的贡献，梅森素数以他的名字命名。梅森素数提供了寻找素数的“捷径”，所以今天发现的已知最大素数几乎都是梅森素数，所以寻找新的梅森素数的过程几乎等于寻找新的最大素数的过程。

随着时间的推进，计算机也出现了，寻找梅森素数进入了“计算机时代”。

超级计算机和相应的素数算法的出现，加速了我们对梅森素数的寻找。例如，美国数学家Robinson (1911 ~ 1995)在Lemer的指导下将这种方法编制成计算机程序，利用SWAC计算机在几个月内找到了五个梅森素数:M521、M607、M1279、M2203和M2281。

但是用超级计算机找梅森素数太贵了，能参与的人也有限。寻找质数已经成为世界上极少数人的游戏。

随着互联网的出现，梅森素数已经可以“飞入寻常百姓家”，GIMPS的出现，标志着寻找梅森素数进入了“网络共享时代”。自1996年投入使用以来，GIMPS已经帮助我们发现了17个梅森素数(35到51)。

但是梅森素数有什么用呢？

说了这么多，梅森素数不就是一个素数吗？和我们的日常生活有什么联系吗？

首先，梅森素数自古以来就是数论研究的重要内容。历史上很多伟大的数学家都专门研究过素数的这种特殊形式。或者说是梅森素数数学的完美体现。我们可以为梅森素数做这样的运算:

其中n是一个完全数，即其所有真因子之和等于自身。比如n=6是一个完全数，6=1x2x3=1+2+3。它是由M2通过上述公式得到的。事实上，如果你得到一个梅森素数，你将得到一个完全数。

其次，寻找梅森素数是寻找已知最大素数的最有效方法。自从欧拉证明了M31是当时最大的素数之后，梅森素数基本上领跑了最大素数排行榜。更何况，寻找梅森素数是检验计算机运算速度和其他功能的有力手段。例如，M1257787是Cray公司在1996年9月测试其最新超级计算机的计算速度时获得的。

梅森素数的计算、发现和验证在计算机性能的评估和提高中可以发挥独特的作用，因为梅森素数的研究将涉及大数的冗长计算，而大数是计算机性能的重要指标。随着梅森素数的规模越来越大，计算量急剧增加，这就需要计算方法和计算技巧的创新。

谈实际应用的意义，梅森素数可以应用于现代密码学。

银行加密系统我们非常熟悉，几乎每天都在使用。现在流行的加密算法是三个麻省理工科学家开发的非对称加密算法(RSA算法)。这种算法基于数学运算原理，在加解密过程中需要进行素数相关的计算，如素数因子分解。素数作为加密和解密的核心，是安全性的标志。一旦这个素数被轻易找到，就说明这个加密算法的安全性很差。大素数的应用将大大增强算法的安全性。

寻找梅森素数从“手算时代”到我们的“网络分享时代”，经历了“电脑时代”。电脑的作用就不用细说了，GIMPS这种互联网共享模式已经验证成功。它成功地让非数学专业或非数学研究的人参与到数学研究中，虽然他们中的很多人并没有使用这个软件参与数学研究。举个例子，Patrick Laroche在发现282589933-1之前，用GIMPS软件测试过自己的电脑。GIMPS把自己的闲置资源、闲置时间、闲置“思维”集中起来，这是一种模式创新。

新的一年就要来了，让我们期待更可观长度的梅森素数的发现吧！