质数是什么意思(质数有哪些)

素数(也叫质数)是一个自然数，除了1和它本身，没有其他因素。他们是所有整数中特殊而孤独的存在，他们的孤独不仅与其他合数格格不入，更是孪生素数相互吸引，却无法真正靠近的那种孤独。

开启质数之旅

质数可以说是数学领域最大最古老的数据集，数学家们经过2300年的努力，一直在不断探索它的奥秘。那么是什么吸引了无数优秀的数学家千百年来致力于素数的研究呢？

古希腊数学家欧几里德& # 34；数学英雄& # 34；欧拉，& # 34；业余数学家之王& # 34；马，& # 34；数学王子& # 34；高斯…一直痴迷于质数的无穷魅力。

费马猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想、孪生素数猜想等。印证了人们对质数神秘表象背后奥秘的执着探索，以及对寻找未知之路的努力。质数难以捉摸，分布不规则，无穷无尽。如何从自然数中找出质数？

公元前200年左右，古希腊数学家厄拉多塞提出了素数快速筛选法，这是一种简单而古老的在一定范围内找出所有素数的筛选方法。

用来寻找一定范围内的质数。

步骤如下:

(1)先删除1；

(2)读取序列中当前最小的数2，然后删除2的倍数；(3)读取序列中当前最小的数3，然后删除3的倍数；(4)依次进行，直到读出范围内的所有数字。这种创建质量表的方法被称为& # 34；依托尼筛选法& # 34；。

在汽车变速箱齿轮的设计中，将两个相邻的大小齿轮的齿数设计为质数，以增加两个齿轮中两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数(即这两个齿轮的齿数的乘积，两个质数的最小公倍数为它们的乘积)， 其可以防止一些齿与另一个齿轮的单个齿接触(特别是当这个齿设计有一些小缺陷时，任何机械工程都有一些小误差)，并增强耐用性。

众所周知，学名蝉，在自然界中进化出了非常特殊的繁殖周期。目前发现的有13年蝉和17年蝉(读者可阅读参考文献了解更多详情)，即其幼虫分别需要在地下生活13年和17年才能破土而出。蝉出土后一般只能活2个月左右。为了开花两个月，它们需要在黑暗的地面下生活13年。

13岁的蝉和17岁的蝉之所以进化出这种奇特的繁殖周期，是为了逃避天敌的侵略，安全地延续种群，从而进化出漫长而隐秘的质数生命周期(13和17是质数)。当蝉的繁殖周期为13年或17年时，蝉和它的天敌需要很多年才能满足彼此的繁殖周期。如果它们的繁殖周期相遇，天敌的幼虫就会以蝉的幼虫为食，这对蝉的种群延续非常不利。蝉为了躲避天敌的伤害，进化出了如此奇特的繁殖周期。在这里我们进一步看到了生物进化的魅力。

除了蝉，害虫的生物生长周期与农药使用的关系也得到了科学的证明:实验表明，素数使用农药是最合理的，而且需要在害虫繁殖的高潮期使用，这样害虫就很难产生抗药性。这主要是用农药杀死相邻批次繁殖期的所有害虫，从而避免不同世代害虫的交配繁殖。

有一本书叫《质数的孤独》，作者是意大利著名作家保罗·佐丹奴。这是一部关于童年经历、爱情和孤独的小说。小说的男女主人公就像是两个孪生素数，离得很近却永远无法靠近。这本书有力地展示了人性的孤独，并深入分析了这种孤独的成因。

刚开始读书名的时候，书名变成了一个孤独的质数。可能我已经主观认定了质数注定是孤独的。在数学中，两个相差2的素数叫做& # 34；孪生素数& # 34；。孪生素数并不少见，3和5，5和7，11和13...他们相似却永远不可能在一起，中间总有一个数字，这真是数字世界的爱情悲剧。

2018年3月20日，挪威科学与文学研究院宣布将2018年阿贝尔奖授予加拿大裔美国数学家罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands)，以表彰他在数学领域的终身成就。他提出了最终以他的名字命名的数学理论& # 34；兰兹计划& # 34；(Langlands program)，它通过与素数的共同联系，将几何、代数和分析的概念结合起来，建立了一个& # 34；在数学的许多分支中。布里奇斯& # 34；。

探寻经典问题

1.(时代学习报数学文化节)菲尔兹奖被誉为& # 34；诺贝尔数学奖& # 34；，只针对40岁以下的数学家。中国数学家丘成桐和陶哲轩分别于1982年和2006年获得该奖。我们知道正整数中有无穷个质数(素数)。陶哲轩等人证明了这样一个关于素数分布的奇妙定理:对于任意正整数K，存在无限组包含K个等距素数(素数)的数组。比如k=3时，3，5，7 5，11，17是三个素数，间隔为6；和_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _之间

解析:从简单的素数开始，可以写出两组:5，17，29或者29，41，53。

著名的李生素数猜想与这个例子有关:是否存在无穷多个素数P，使得P+2也是素数？比如3，5；5,7;11,13;17,19;…

陶哲轩，2008年11月20日，20名40岁以下的科学家被评为& # 34；最聪明的头脑& # 34；华裔澳大利亚人陶哲轩名列第一。13岁时，她获得了国际数学奥林匹克金牌。24岁时，她被授予终身教授。2006年，31岁的她获得了菲尔兹奖。兴趣广泛，知识储备丰富，洞察力深刻，能够敏锐地发现不熟悉的问题与自己擅长领域的本质联系，这是他最大的特点。

例子证明素数有无穷多个。

公元前300年，亚历山大的数学家欧几里德(公元前330-275)描述道:& # 34；质数是只能用1计数的数。"这意味着一个质数不能被任何比它小的数整除，除了1。而且为了保证整数分解的唯一性，数学家也不把1当成素数。

欧几里德在他不朽的名著《几何原本》中总结了几何和数论，并证明& # 34；素数有无穷多个& # 34；

欧几里德思想:假设素数是有限的，只有P，P …，PN，这N个数，那么其他所有自然数都是这N个素数的乘积，而且都是合数，也就是说其他所有自然数都能被P或P，…或PN整除。

但是p p p p...PN+1不能被p或p整除...或者PN，与上述假设相矛盾。

所以原假设不成立，从而证明素数有无穷多个。

马林·梅森(1588-1648)，法国天主教会的修士，在哲学、数学等领域造诣颇深。他经常与费马、伽利略、帕斯卡、笛卡尔等人通信。梅森有着广泛的联系，成为欧洲科学家和科学家之间的桥梁& # 34；信息交换站& # 34；。

梅森素数在当代具有重要的理论意义和实用价值。这是寻找已知最大素数的最有效方法；它的探索促进了数论这一数学女王的研究，促进了计算技术、编程技术、密码学技术和快速傅立叶变换应用的发展。

探索梅森素数的最新意义在于它促进了网格技术的发展。网格技术将是一项应用非常广泛、前景诱人的技术。另外，搜索梅森素数的方法也可以用来检验计算机硬件操作是否正确。

例4(北大自主招生考试)最多能找到多少个两两不等的正整数，使得任意三个数之和为素数？陈述你的理由。

解析:因为要求任意三个数之和应该是质数，所以正整数可以按照模3分类:3k，3k+1，3k+2，k是正整数，可以讨论一下。

如果选择三类数中的一类:3a，3b+1，3c+2，那么3a+3b+1+3c+2=3(a+b+c+1)。这三个数之和不是质数，所以最多可以从三种类型中选择两种类型的数。

另外，如果某一类数3k+I (I = 0，1，2)得到至少三个:30+i，3b+i，3c+(i=

0，1，2)，那么3a+i+3b+i+3c+i=3(a+b+c+i)(i=0，1，2)。这三个数之和不是质数，所以每个类只有两个数。

综上所述，成对差的正整数最多有2×2=4个，这样任意三个数之和就是素数，比如1，3，7，9。

质数为何与众不同？为什么要研究质数？

寻找最大的质数就像物理学家寻找更小的基本粒子一样，天文学家也在不断寻找未知的恒星。这种单纯为了满足求知欲的好奇心，是人类突破知识领域的动力。今天，人们已经意识到网上交易的安全性(强密码系统)是建立在& # 34；分解一个大整数的除数(质数)是极其困难的& # 34；在此基础上。

质数是人类求知过程中最无奈的谜题。如何预测下一个质数？什么公式可以生成素数？质数表面的噪音下隐藏着意想不到的和谐。1859年，德国数学家黎曼提出了一首关于这首歌的歌& # 34；神秘的音乐& # 34；大胆预测，这个预测的答案将在电子商务、量子力学、计算机科学等领先城市产生革命性的影响。

2013年4月17日张给《数学年刊》投稿证明& # 34；素数有无数对(p，g)，其中每对中的素数之差，即p和g之间的距离不超过七千万& # 34；

遗憾的是，虽然人类在2500多年前就发现了质数，但时至今日仍然无法完全揭开质数的奥秘。欧拉曾感叹:& # 34；世界上有很多奥秘是人类的智慧无法解释的。如果你看质量表，你会发现没有秩序，没有规则可言。"

张，1955年生于上海，1978年考入北京大学数学系。

他的证明在解决孪生素数猜想方面迈出了一大步，并分别获得了2014年瑞典罗夫·肖克奖和美国麦克阿瑟天才奖。"我的心很平静。我不太在乎金钱和荣誉。我喜欢静下心来做自己想做的事。"

体验质数魅力

1.(武侯区校级自主招生)组合数k满足1 < k < 100。如果k的数之和是素数，则组合数k称为& # 34；山寨质数& # 34；，那么这个& # 34；山寨质数& # 34；号码是_ _ _ _ _。

【解析】从素数的定义和分析入手，分别得出了山寨素数是和素数和素数。

用S(K)表示K的数字和；而M(p)表示山寨是素数p的合数的集合.

当k≤99，S(k)≤18，且有7个不大于18的素数。它们是:2，3，5，7，11，13，17，

山寨2的合数是m (2) = {20}，而m (3) = {12，21，30}，

M(5)={14，32，50}，M(7)={16，25，34，52，70 }；

M (11) = {38，56，65，74，92}，m (13) = {49，58，76，85，94}，m (17) = {98}，共得到23个假素数。所以答案是:23。

变式1。已知A、B、C三个合数是成对素数，A× B× C = 11011× 28，那么A+B+C的最大值是_ _ _ _。

【解析】:因为11011×28 =(11×11×13×7)×(2×2×7)=(11×11×13)×(7×7)×(2×2)，

最大化A+B+C，且A、B、C为成对素数，则A = 11× 11× 13 = 1573，B = 7× 7 = 49，C = 2× 2 = 4，则A+B+C = 1626。所以答案是:1626。

变式2规定:A ⊕ B = A2+B，AB = (A+B) (A ⊕ B)，若m是最小素数，n是大于100的最小合数，则M (M ﹣ N) = _ _ _ _，M ⊕.

【解析】由于m是最小的质数，n是大于100的最小合数，所以可以得到m = 2，n = 102，然后根据定义的算法把它们代入两个计算公式就可以求解了。

∵m是最小的素数，n是大于100的最小合数，∴ m = 2，n = 102，

∴m⊗(m﹣n)=2⊗(2﹣102)=﹣9996，

m⊕(m⊗n)=2⊕[(2+102)(2﹣102)]=2⊕(﹣9996)=4+(﹣10400 )=﹣10396.

所以答案是:﹣9996，﹣ 10396。

变式3。(蚌埠校级自主招生)若已知素数x，y，z满足19x ﹣ yz = 57，则x+y+z = _ _ _ _。

【解析】:∫yz = 19 x﹣57 = 19(x﹣3)，

∴右边是19的倍数，所以y和z中的一个是19，

设z = 19，∴ y = x ∴ 3，∴ x ∴ y = 3，

∵减法是奇数，所以x和y是奇数和偶数，

∵偶数素数只有2，所以y = 2，x = 5，所以x+y+z = 26。

【点评】这个问题比较复杂，考察质数和合数的概念。如果一个数的因子只有1和它本身，这样的数叫做素数；如果一个数除了1和它本身还有其他因子，这样的数叫做合数。

变式4。如果x，y，z三个质数使得XYZ = 11 (x+y+z)成立，那么x+y+z的值就是_ _，或者_ _。

【解析】:∫三个素数x，y，z使XYZ = 11 (x+y+z)成立

∴x，y和z中的一个必须是11，所以x = 11，

11yz = 11 (11+y+z)，即y (z ﹣ 1) = 11+z

∴y=1+ 12/(z-1)、

y是一个质数，∴ z ∴ 1 = 1或2或3或4，

∴ Z = 2或3或4或5，

∵z是素数，∴ z = 4不符合题意。放下它，

当z = 2，y = 13时，

∴x+y+z=11+13+2=26，

当z = 3，y = 7时，

∴x+y+z=11+7+3=21，

当z = 5，y = 4时，y不是质数，所以放弃，

也就是x+y+z的值是21或者26，所以答案是:21，26。

∴ p = 2，那么q = 13，

这时，p+3 = 5，1 ﹣ p+q = 12，2p+q ﹣ 4 = 13，

∵ 5+12 = 13，边长为∴5、12、13的三角形为直角三角形。所以选了B。

变式1。已知n是整数，且| n+2n ﹣ 224 |是素数，则n = _ _ _ _ _。

【解析】先将n+2n ﹣ 224分解成两个阶乘乘积的形式，然后根据n是正整数和素数的定义计算n的值。

当n+16 = 1，n = ﹣ 15，那么n﹣14 =﹣29；

当n+16 = ﹣ 1，n = ﹣ 17时，则n﹣14 =﹣31；

当n ﹣ 14 = 1，n = 15时，则n+16 = 31；

当n ﹣ 14 = ﹣ 1，n = 13时，则n+16 = 29；

∴ n = ﹣ 15或﹣17 15或13。

所以答案是:﹣15或﹣17或15或13。

3.证明:有无穷个自然数k，使得n4+k不是素数。

当a≥2时，这是两个大于1的自然数的乘积。因为A有无穷多个，K也有无穷多个。

即有无穷个自然数k，使得n4+k不是素数。

4.(2019年南岸区春季学期)材料:大于1的自然数。除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数叫质数(也叫素数)，否则叫合数。其中，1和0既不是质数，也不是合数，最小的质数是2。数学家欧几里德在《几何原本》中详细讨论了这一点。我们来了解两种特殊类型。

①如果两个素数相差2，称为& # 34；孪生素数& # 34；比如3和5，5和7，11和13都是孪生素数。

②29391这个数字相当迷人，不仅因为它是一个质数，还因为最后一位数是有序的& # 34；截尾& # 34；，剩下的数还是质数。比如:29391，2939，293，29，2。具有这种性质的数称为& # 34；截断素数& # 34；。

请使用上述材料解决以下问题:

(1)请直接写出20到100的自然数，都是由两个& # 34；截断素数& # 34；& # 34；孪生素数& # 34；；

(2)如果三个素数的乘积正好等于它们之和的23倍，求这三个素数。

【解析】:(1)20 ~ 100的自然数中，都是由两个& # 34；截断素数& # 34；& # 34；孪生素数& # 34；有:29和31，71和73；

(2)设三个素数为A，B，C，则ABC = 23 (A+B+C)，

设A = 23，b≥c，则变形后BC = 23+B+C，BC ﹣ B ﹣ C+1 = 24。

∴b(c﹣1)﹣(c﹣1)=24，

∴(b﹣1)(c﹣1)=24=24×1=12×2=8×3=6×4，

得到b = 13，c = 3或b = 7，c = 5的合格解。

所以这三个质数是23，13，3或者23，7，5。

【点评】本题考查质数和合数，& # 34；截断素数& # 34；还有& # 34；孪生素数& # 34；正确理解素数的含义，列出方程，是解题的关键。

5.埃拉托斯特尼筛选法是世界上最古老的寻找素数的方法。在接下来的几千年里，数学家们发明了一些寻找素数的方法。1934年，在埃拉托斯特尼筛选法问世两千多年后，一位年轻的印度学生辛达拉姆创建了如图所示的数字表。这种寻找质数的方法叫做& # 34；安瑟伦筛法& # 34；。

你能找到质数的排列吗？

分析:很明显，第一行(顶行)和第一列(左列)的数字是一样的。在这一行(列)中，从第二个数字开始，每个数字与前一个相邻数字相差3，例如7-4 = 10-7 = 13-10 = 16-13 = … = 3。在第二行(列)中，从第二个数字开始，每个数字与前一个相邻数字相差5；第三行(列)的差是7；第四行(列)相差9；第五行(列)相差11。

在这个表中，只要找到一个自然数m，那么2M+1一定不是素数。例如，M=

4，2m+1 = 2× 4+1 = 9，9不是素数；M=17，2×17+1=35，35不是素数。然而，不在这个表中的自然数M必须是2M+1。比如M=5不在表中，2×5+1=11，11是素数，M=8，2×8+1=17，.

6.(少年国际城市邀请赛)如果一个质数的数字经过任何排列后仍然是质数，则称为a & # 34绝对素数& # 34；。

例如，2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733

分析:正困难是相反的。假设一个绝对素数同时包含1、3、7、9这几个数字，就导出了矛盾，这是解决问题的关键。如果一个绝对质数同时包含数字1、3、7、9，那么这个质数的十进制表示就不可能包含数字0、2、4、5、6、8。否则这个数经过适当的排列可以被2或5整除。设n是一个有数字1，3，7和9的绝对素数。

其中一个必须能被7整除，所以这个数不是质数，这是矛盾的。

所以原来的假设不成立，即绝对素数的位数不能同时有1、3、7、9位数。

反正质数或者合数都是自然数。其实数字组合不容易。即使是两个相邻的数字，无论它们有多接近，也总是按顺序出现。看似紧紧贴在一起，但你就是你，独一无二，独一无二，孤独无依。将数学与哲学完美结合的古希腊人，将数学视为哲学的起点。目前不懂高等数学，但双手赞同数学的本义:学习，学习，科学。然而在今天，数学变成了一门抽象的学科，数学是孤独的。一个主语尚且如此，何况是质数？所以孤独是注定的。