余弦定理公式(e的x次方>1)

正弦定理和余弦定理是我们在高中数学学习中遇到的一组非常重要的定理。它们揭示了三角形的角点关系，它们的组合可以解决很多(斜的)三角形问题。

你可能想知道为什么要研究这两个定理。仅仅是为了解决问题吗？不要！其实这两个定理都有很奇妙的应用，只可惜我们刷了很多题，却忽略了它们背后的数学之美。

今天，边肖将和你谈谈为什么我们要学习正弦定理和余弦定理。

1正弦定理和余弦定理

首先，我们来复习一下什么是正弦定理和余弦定理:

正弦定理是，如果角abc的对边的边长是ABC，则有

余弦定理是，如果角的对边的边长分别是，则有

利用正余弦定理，可以解决很多实际问题。

2.余弦定理和神秘流星

流星是一种天文现象，这是几乎每个现代人都熟悉的事实。但当我们穿过历史的迷雾，会发现人类对流星的认知从一开始就不清晰。

曾经有人推测，流星划过天空空是地球的蒸发，或者是地球上磷火上升空后的燃烧现象。直到18-19世纪之交，德国天文学家本森伯格和布兰德斯用三角学出色地证明了流星实际上是“耳语”。

如图，地球上有两个观察者的两个观测点。他们观察到同一颗流星，其中AB = 500km公里可从地球半径。

因此

已知两个观察者的仰角是

规则

源自正弦定理

可以计算

它可以通过余弦定理得到

也就是说，流星离地表的高度大约是

但是，科学发现，云层的高度并没有超过，所以我们可以断定，流星不可能是地球上的某种蒸发物，它一定是窃窃私语！可见，正是正弦定理和余弦定理帮助人类迈出了正确认识这一神秘天文现象的第一步。

3.正弦和余弦定理及测量问题

在数学史上，正余弦定理与高度测量、距离测量等实际问题密切相关。17世纪以后，随着三角学的发展，人们越来越多地用三角学来解决许多测量问题。尤其是18世纪初，法国数学家玛丽(1630-1706)在《实用几何》一书中讨论了几个经典的三角学应用问题。

问题一:如图，如何测量一个岛上建筑的高度？

这个问题的难点一方面在于无法测量观测点到建筑物底部的距离，但另一方面，借助于当时发明的测角仪，我们可以测量两个观测点与建筑物底部和顶部之间的各种角度，也可以知道两个陆地观测点之间的距离。

我们可以抽象出以下数学模型:

以及角度1234和CD，找AB。

答:在，由正弦定理:

因此

同样，在中，它可以从正弦定理中得到:

计算总和后，使用余弦定理:

这样就解决了身高测量的问题。

相应的，有身高测量问题，就有距离测量问题。

问题二:如图，如何测量一些两个岛屿建筑之间的距离？

其实有了问题I的铺垫，我们就很容易理解和解决问题II，问题II抽象为以下模型:

模仿上面的身高测量问题的解法，我们只需要用两次和中的正弦定理计算和，再用和中的余弦定理计算和。

可见，高度测量和距离测量的问题贯穿了三角学的整个发展过程。其实三角学在测量领域的重要影响，从它的英文名“trigon ometric”就可以看出来，这个名字最早是由德国数学家B. Tix (1561-1613)在1595年杜撰的。它是希腊语“trigono”(三角形)和“measurement in”(测量)的组合，原意是三角学的测量。各种测量问题是三角学要研究的基本问题，然后三角学的意义越来越丰富，逐渐成为研究三角函数及其应用的数学分支。

4.正余弦定理与平面几何

一些初等几何问题往往很难用纯几何方法解决，但当我们使用正弦和余弦定理时，问题就可以简化。比如古希腊数学家海伦在《测量学》一书中提出了著名的“海伦公式”:

给定三条边，称为半周长，三角形的面积是

这个漂亮的公式有漂亮的几何论证方法，这里就不赘述了。其实我们也可以通过正余弦定理推导出来:

知道了两边和它们的夹角，我们就有了

规则

因为余弦定理，我们可以得到

因此

值得一提的是，这个公式被称为“三斜求积”，是我国南宋著名数学家秦发现的。进一步变换，可以得到海伦公式，两个公式是等价的。

进一步处理上述公式得到

订单，有

[1]王晓琴。HPM:数学史与数学教育[M]。科学出版社，2017。[2]王晓琴，沈仲瑜。数学史与高中数学教学——理论、实践与案例[M]。华东师范大学出版社，2020。

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来源:大小吴的数学课堂

编辑:just_iu