积分中值定理(中值定理推广形式)

今天是高等数学专题第12篇。我们继续看定积分。

我们之前讲微分求导的时候，介绍了一系列微分中值定理的求导。既然有微分中值定理，自然就有积分中值定理。我们来看看积分中值定理的定义。

极值定理

极值定理也叫最大最小值定理，它的含义非常直观:如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最大值和最小值，最大值和最小值至少要求一次。

这是一个非常著名的定理。定理内容直观，不难理解。然而，要证明这一点并不容易。它来源于几个定理，如区间套定理和B-M定理。这个证明过程很复杂。由于篇幅和水平的限制，本文只能跳过这一部分，有兴趣的同学可以自行了解一下。

假设m和m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最小值和最大值，那么根据极值定理，可以得到如下公式:

这个公式光看可能感觉有点复杂，但是我们画好图之后就很简单了:

上图中灰色阴影部分是定积分的结果。蓝色矩形区域为m(b-a)，大矩形区域为M(b-a)。

通过几何面积的关系，我们很容易证明这个结论。

数学证明也很简单。由于m和m分别是最小值和最大值，我们可以得到m

两边积分的结果是矩形面积，所以我们得到了证明。

积分中值定理

极值定理很简单，但却是很多定理的基础。比如我们的积分中值定理就与之密切相关。

让我们对上面的公式做一个简单的变形。由于b-a是一个常数并且大于0，我们在

将这个不等式的两边同时除以b-a，可以得到:

让我们把

这个公式被看作一个整体，它的值位于区间内函数的最大值和最小值之间。根据连续函数的介值定理，我们一定可以在[a，b]上找到一个点ξ，使得f(x)在这个点ξ的值等于这个值，也就是说:

上面的公式就是积分中值定理。这里有两点需要注意。先说一个简单点，就是我们利用连续函数的中值定理。所以限制了这必须是连续函数，否则可能发生函数在ξ点未定义的情况。这也是定理成立的前提。

第二点是简单介绍一下连续函数的介值定理，意思是对于一个在区间[a，b]内连续的函数，对于其最大值和最小值之间的任意一个常数，我们当然可以在区间[a，b]内找到一个点使得该点的函数值等于这个常数。

了解了这些细节之后，我们再来看看刚才的公式:

让我们把常数乘回去:

右边的积分算什么？它计算的是被函数包围的曲线的面积，但现在我们已经把它转换成了函数值乘以宽度，所以我们可以把它看作是一个矩形的高度。我们来看下图。

也就是说，高度为f(ξ)的矩形面积等于函数所围成的曲面面积，所以它既是矩形的高度，也是函数在[a，b]上的平均值。

总结

中值定理是微积分领域最重要的定理，几乎没有一个是整个微积分的主线。我们熟悉中值定理的推导过程，这对我们加深对微积分的理解很有帮助。更重要的是，相对来说，这两个定理的推导过程并不是很难，而且还挺有意思的，所以推荐大家自己尝试一下。

今天的文章到此为止。如果你认为你有所收获，请关注或转发。你的一点点努力对我很重要。