关于三角形几何定理(三角形几何定理)

开场故事：三角形三边关系定理

刘勋玉(1896 ~ 1967)是现代数学家和数学教育家。建国后，任人民教育出版社副总编，负责审定全国中小学数学教材，并亲自参与编写。也是知名科普作家，代表作品有《马老师谈数学》、《那么有趣的数学》、《数学的花园》等。

他在《数学好有趣》一书中谈到了三角三边关系定理。他是这样说的:

在几何学中，有三个平行的定理:

(1)直角三角形，斜边的平方等于其两条边的平方之和。

(2)对于钝角三角形，钝角一边的平方等于其两边的平方之和，加上，一边和另一边在其上投影的乘积的两倍。

(3)对于锐角三角形，锐角一边的平方等于其两边的平方之和，减去一边和另一边在其上投影的乘积的两倍。

就说这个，可能不太清楚。让我们用图表和公式来表示它们。

图1

《原来数学这样有趣》书摘1“如此有趣的数学”摘要1

图二

在这一点上，毕达哥拉斯定理是非常普遍和简单的。好记又好用，照着做进步自然容易很多。

科普作家刘勋玉大约在1933年写了这本书。与以前相比，现在的数学书有了很大的变化。

现在数学书是这样写的:

【三角形三边关系定理】三角形两边之和大于第三边。

【三角形三边关系定理的推论】三角形两边之差小于第三边。

刘勋玉书中的三角形三边关系定理，其实就是余弦定理。书上的三个定理虽然没有余弦，但实际上等同于余弦定理。

请看基本示意图:

画

该图基本揭示了勾股定理和余弦定理的几何意义。

基本图形(1)告诉我们，由于直角三角形q(投影)=0，勾股定理是余弦定理的特例，只有两项，没有第三项，即大正方形(C) =中正方形(A)+小正方形(B)。

基础图(2)告诉我们，因为钝角三角形Q(投影)>:0为正，所以第三项为正，即大正方形(C) =中正方形(A)+小正方形(B)+两个矩形(2aq)。

基本图形(3)告诉我们，因为锐角三角形Q(投影)< 0为负，所以第三项为负，即square (C) = square (A)+square (b ) -两个矩形(2aq)。

图中不涉及角度和余弦，相当于余弦定理的初等或通俗版。中学生直到高中才接触到余弦定理。令人惊讶的是，古希腊几何元素不仅有勾股定理，还证明了余弦定理的几何形式。当然，代数的发展经历了三个阶段。虽然古希腊数学家对余弦定理进行了分类讨论和证明，但由于时代的限制，现代数学教科书中的公式在书本上是无法给出的。

在基本图形(2)钝角三角形中，

a=CB=2.5

b=AC=3.35410197

c=AB=5

q=1.5

c =a +b +2aq

=11.2500000251+6.25+7.5

=25.0000000251

在基本图形(3)锐角三角形中，

a=CB=3.8

b=AC=3.5

c=AB=2.5

h=AD=2.23980608

q=CD=2.68947369

c =a +b +2aq

=14.44+12.25-20.440000044

=6.249999956

为什么基本图形等价于余弦定理？我们从余弦开始。

在直角三角形中，锐角的余弦定义为邻边与斜边之比。

余弦一词指的是余角，弦指的是正弦，也就是余角的正弦。

在直角三角形中，C是直角，A和B是锐角，互为余角。所以有:

cos A=sin (90 -A)=sin B

欧拉三角函数的定义从锐角扩展到任意角，从第一象限扩展到四象限。我们来看看单位圆上余弦函数的定义。

在笛卡儿平面直角坐标系中，角φ的一边在X轴上，角的顶点在原点O，另一边称为动臂，它可以正向(逆时针)旋转，贯穿四个象限。

设吊杆和单位圆在四个象限的交点为B，B，B，B，那么任意角度的余弦定义为:

Cos φ=横坐标:半径

横坐标是交点b的横坐标，不同的象限有不同的符号，但半径总是正的。

因此，余弦函数在第一和第四象限为正，在第二和第三象限为负。

现在来说说余弦定理。

【余弦定理】平面三角形中，一条边的平方等于其他两条边的平方之和减去两条边与这两条边夹角的余弦的乘积的两倍。

c =a +b -2ab cos C

当已知两条边及其夹角时，可以用余弦定理计算出第三条边，而当已知三条边时，可以求出任意角。

图基本是小学版的余弦定理没有余弦，那么高中版的余弦定理怎么画呢？

只需要修改第三项的图形，把两个矩形(2aq)改成两个平行四边形(2ab cos C)。平行四边形的一组对边是A，另一组对边是B，当平行四边形是直角时，就成了矩形，其面积等于底边(A)乘以高(B)。当平行四边形的边长不变时，可以改变角度。当底部不变时，高度降低，面积压缩。当这两个平行四边形的底为A，高为Q时，面积= 2AQ = 2AB cos C .这就是余弦定理的几何意义。

再看基本图。在△ABC中，从cos C的定义可以看出q=DC=b cos C，所以有

c =a +b -2aq

=a +b -2ab cos C

C为锐角，第一象限cos C为正，上式右边第三项为负；

C为钝角，第二象限cos C为负，上式右侧第三项为正(负负为正)。

是锐角

c是直角c = a+b

c是钝角c >: a +b

余弦定理有三个公式，我们只写了一个。怎么才能得到所有的公式？

使用循环替换法。即三边循环替换，A换成B，B换成C，C换成A；如果角度也有A→B→C→A，三个公式都可以得到。

在操作的过程中，有没有感受到余弦定理对称循环的形式美？

有个比较好的，比如一个漂亮的圆形瓷盘，五个字对称均匀的排列成一圈:能清心。你说应该怎么读？

①可以清心。

②还能清心。

③清心也可以。

就像余弦定理的三个公式一样，三个读音都有可能。

总结:余弦定理是勾股定理的推广，比后者更一般、更普遍、更深刻。但它的发现和证明似乎与中国人无关，值得我们反思。

余弦定理的推导

高考题相关知识点及答案①三角形面积公式；

②内切圆半径；

③投影定理。

知识点和高考题请看下图:

余弦定理的应用余弦定理是关于三角形边角关系的重要定理，也是解决三角形的常用方法之一。

①通过知道两边和夹角找到另一边。

知道三边角(余弦定理的灵活应用)

阅读:海伦公式已知三个边的面积可以用海伦公式计算。求出面积后，就可以求出三角形的三个高度。

海伦的公式相当于秦的公式。秦是宋代数学家，著有《九章》等多部著作。

正弦定理和余弦定理常用于解三角形，切线公式和半角公式也可以。

科学尚未普及，媒体仍需努力。感谢阅读，再见。