对数运算公式大全(对数的变换公式大全)

初二的时候，课本上有一本是薄对数表。当时很好奇这个常见的对数表是怎么算出来的。昨天看到李永乐比较3的361次方和10的81次方的大小，想起了初中时的疑惑。我在网上找到这篇文章，觉得很有收获。我转贴给你。虽然不一定是当时人的算法，但也能开阔我们的思路。

回到17世纪，我来编一个常用的对数表。

十八九岁学对数后，觉得做对数表不容易。据说在17世纪的那个时候，有人说如果谁在对数表上发现一个数字错了，就会被奖励一两块金牌。

据百度:纳皮尔(1550 ~ 1617)，苏格兰数学家，对数的创始人。他最大的贡献是对数的发明。纳皮尔的杰作《奇妙的对数定律》于1614年6月在爱丁堡出版。纳皮尔的朋友布里顿·布里格斯(Briton Briggs)将纳皮尔创立的对数改为普通对数，并得到广泛应用。1624年发表了对数算术，并发表了以10为底的1-20000和90000-100000的14位常用对数表。

1671年，德国著名数学家G.W .莱布尼茨制造了第一台能够进行加减乘除运算的机械计算机。

可以看出，布里格斯编制常用对数表的时候，机械计算机还没有发明出来，所以似乎只能用手工来做。

那时候我还不知道十七世纪的对数表是怎么编的。但我还是想自己编一个，哪怕只有几个。我就想搞清楚对数表是怎么编出来的。这个愿望几十年来一直没有着落。

记得上世纪五六十年代，对数表离不开我的手，没有它就不能用。真的是让人应接不暇。70年代使用飞鱼手摇电脑时，告别了六位对数表。80年代使用电子计算器时，告别了八位函数表和手摇计算机。在计算机普及的今天，我仍然有手工创建对数表的想法，这似乎有点可笑，但“如何创建原始对数表”这个问题仍然牵引着我的心，一直在思考。

没想到年纪大了，灵光一闪，得到了一个制作表格的方法，可以分发给很多人，他们可以独立计算不同的数值范围。最后收集在一起成为对数表，这样可以很快完成，不需要几年甚至几十年。

常用的对数是指当底数为10时，有等式10 d = z，如果知道一个数Z(称为真数)，那么10的指数为D，D称为十进制对数，也称为普通对数。给z，求D..并用D = Lg Z表示..比如10 d = 2，给2求D .并用D = Lg2表示。查对数表可以得到D = Lg2 =0.30103，也就是10 ^ 0.30103 = 2。也就是说，10的0.30103次方等于2。

10的整数次方可以计算，但是0.30103的次方呢？真的是无法理解。但是，如果说因为0.30103=30103/100000，所以计算10的30103次方，再开100000次方是合理的。但是2的对数是0.30103，永远不可能这样计算，所以还是很神秘。那么2的对数就是0.30103。是如何计算的？

你这样想，就会得到一个启发，就是10的幂是零的几倍。可以这样算:先取权，后取根，主要取根。例如，10的平方是10的0.5次方。10的第三个平方是10的0.33333次方，以此类推。受此启发，经过反复试算，得出了编制常用对数表的步骤和方法:

先求最基本的对数。

1.我觉得世界上第一个常用的对数可能是3.16227766 0.5的对数。因为3.16227766 = √10

= 10 (1/2) = 10 0.5，0.5是它的对数。10的处方可以一次写完，也可以逐步试算逼近。如果3.16*3.16=9.9856不够，那就用3.163*3.163=10.004569，如果超出一点，那就再用一次。

3.16228 * 3.16228 = 10.0000147984……最后设置为3.1627766。即3.16227766的对数是0.500000。

2.第二个可能是2.15443469的对数是0.33333。因为2.15443469 = 3 √ 10 = 10 (1/3)

= 10 0.33333，0.333333是它的对数。开10的三次方比较麻烦，可以通过试算逐步逼近。如果2.15*2.15*2.15 = 9.9384不够，那么2.1544 * 2.1544 * 2.1544 = 9.9952不够，再试试，最后定为2.15443469。也就是说2.15443469的对数是0.33333。

3.16227766的对数是0.500000。2.15443469的对数是0.33333……这样的对数，我称之为最基本的对数。你需要多少基本对数？这里只有八个，我觉得可能够了。也就是说，只需计算:

10的1/2次方，也就是10的开2次方。注意，2是一个质数。

10的1/3次方，也就是10的3次方。注意，3是一个质数。

10的1/5次方，也就是10的5次方。注意，5是一个质数。

10的1/7次方，也就是10的7次方。注意，7是一个质数。

10的1/11次方，也就是10的11次方。注意，11是一个质数。

10的1/13次方，也就是10的13次方。注意，13是一个质数。

10的1/17次方，也就是10的17次方。注意，17是一个质数。

10的1/19次方，也就是10的19次方。注意，19是一个质数。

可以得到相应的对数。使用这些基本对数，然后扩展其他对数。计算这些最基本的对数，只要用平方根就行了。虽然开药很烦，尤其是7次以上的时候，7次以上要逐步反复检查完善，真的很烦，但毕竟可以手工计算。我认为，在十七世纪，这是唯一的方法。

4，还有10的4次方，10的6次方，10的15次方……都不是必须的，因为按照上面说的最基本的对数就可以很容易的算出来，没必要白费力气。

10的开d次方得到的基本对数表

基本对数表的扩展和填充

有了上面的基本对数，就可以根据对数的基本原理展开基本对数:实数的乘除，对数的加减。例如:

1 (2√10)*(5√10) = 3.162277660*1.584893192=5.01187

对应的对数是:0.500000+0.200000=0.70000。

2 (2√10)/(5√10) = 3.162277660/1.584893192=1.99526

对应的对数是:0.500000-0.200000=0.30000。

3.这样，有96个扩展对数，如下表所示:

基本对数展开表由最基本的真数和对数组成，用真数乘、除，用对数加减。

当然，这块表很小，数量也远远不够。但可以以此为基础，然后通过多次交织、乘除，可以得到更多的对数。但是，通过更多次的交织、乘除，不可能得到所有的对数，只好另辟蹊径。其实只要我们先设法找到“素数的对数”，就可以一劳永逸地解决问题。这个“基本对数展开表”为下一步求素数的对数做准备。

求素数的对数(注:采用二分法)

众所周知，合数是质数的乘积。所以只要知道质数的对数，就可以用乘除加减法计算合数的对数。所以可以计算任何数的对数。那么，如何求质数的对数呢？

两步走:

首先，选择数据(选择两个基准点)。在对数展开表中，选择两个尽可能接近所需素数的数字。比如计算2的对数，表中只有真数1.99526和2.20220，其中1.99526非常接近2。选择。而且2.20220离2还很远，我们就不用了，再找一个。方法是:还是用上面的对数展开表，找到1.95393和1.03273，将两个数相乘得到:

1.95393*1.03273=2.01788，(非常接近2)，查。对应的对数是:

0.29091+0.01399=0.30490 。

这样，取两个数1.99526和2.01788进行插值，求2的对数。1.99526和2.01788这两个数字称为近似值。

二、插值(二分法计算)。

真对数

a= 1.99526 A=0.30000

B= 2.01788 B=0.30490求Z=2的对数。

在非常小的单元内(计算值的1%或2%的误差)，采用线性插值公式。

Lg Z = A+(B-A)/(b-a)*(Z-a)

计算Lg 2 = 0.30103

这种方法只用到了乘法、除法、加法和减法，所以可以手工计算。为了减少工作量，最好用乘法求逼近和插值。

以下是Lg 2、Lg 3、Lg 5、Lg 7、Lg41、Lg 43的计算过程:

根据数标编制中的真数和对数，来源于基本对数展开和填充表。

分工合作，齐心协力编制常用对数表。

基本对数→对数展开表→素数的对数→合数的对数这四个步骤，使得多人同时工作成为可能。组织分工如下:

1.先由几个人算出最基本的对数。准确的说，取多位，比如编一个八位数的对数表，取至少十位作为最基本的对数。

2.少数人会分工计算对数展开表。基本对数和对数展开表用作公共表。

3.组织很多人，同时计算素数的对数。每个人分享一个段，比如1—50，50—100，101—200，201—400……在各自的范围内，计算素数的对数。素数的对数也常用。

4.组织很多人，同时计算和数的对数。也是大家一份，既利用了彼此的成果，又互不干涉。

5.每个人每天的工作结果都会汇总公布，以便下一步互相利用，提高工作效率。

洁玉

如果把乘除比作一条汹涌的河流，那么对数表就是一座平缓的桥梁。它让很多实用的计算器轻松到达彼岸，大大提高了工作效率。但在时隔三百年的今天，那些造桥的人，甚至造桥的方法，都被淹没在历史的巨卷中，对数表也走进了历史博物馆。

在缅怀逝去的人们的同时，也希望发扬先辈们追求真理、服务全人类的精神，为科学的合理发展而研究和奋斗！