无理数有哪些(一共有多少个无理数)

“无奈花落，似曾相识燕归”，初二第一次遇到“无理数”，迷茫又不解。

为什么那个无限无环小数叫“无理数”？每个人都算数。为什么这个不合理，那个合理？这种困惑终究没有解决。久而久之，我逐渐接受了“无限无环小数”这个词，它自然等同于“无理数”。但这种好奇总是在我心里呐喊。当我发现真相的时候，我觉得这可能是一个玩笑，但是这个玩笑一直玩到今天。

“无理数”从被发现到被证明存在，经历了一波三折。今天，我们来看看“无理数”的奋斗史。或许无理数本身并不“无理”，但无理数的名字更“无理”。

万物皆数

故事开始于古希腊，大约公元前580年，在意大利半岛上，一个由毕达哥拉斯领导的宗教社团——毕达哥拉斯兄弟会，我们的英雄毕当之无愧地稳坐帮主的位置。“兄弟会”的成员是一群高智商的知识分子。他们认为“数”可以解释世间一切现象，或者说，应该是“整数”，这是现实的秘密规律。头目毕说:“整数中，1是万物的本原，2是第一个偶数，所以2代表女性，3是第一个奇数，所以3代表男性，2+3=5，所以5代表婚姻，……”类似的方式，用整数的头目都可以解释，帮派成员对此深信不疑！

和谐的比例

毕老师不仅数学好，音乐知识也很丰富。一天，他路过一家铁匠铺时，听到铁匠铺里传来叮叮当当的声音，时而铿锵有力，时而有节奏，时而沉闷无趣。领导被声音吸引，不由自主地走进了铁匠铺。(毕师傅肯定没来过我们北方的澡堂，噼里啪啦的敲背声比铁匠铺悦耳多了！)在铁匠铺里，一根烧红的铁杵两旁，铁匠铺的两个师傅——张大锤和，大锤配大锤，小锤配小锤，有节奏地敲打着铁杵。这时，张大锤面露喜色，因为他看到了衣冠楚楚的毕王，就知道这一定是个“好钱”的主人，大人物。然而，大锤错了。这时，王弼脑海中勾勒出了另一个场景！

第二天早上，帮会帮主让帮会的小弟们买了一套铁匠铺的简易设备，住在帮会总部当铁匠。我很困惑。公会要转型了吗？下一个高薪职业是铁匠吗？一些诚实坦率的知识分子想加入另一个学校。我弟弟也错了。转眼间，到了每周例会的时间。领导在今天的会上带来了最新的研究成果:经过几天对打铁的研究，发现锤子越重声音越大；锤子的重量越小，声音越低。当重量比为1:2时，两锤发出八度音，重量比为2:3时，为第五音程，重量比为3:4时，为第四音程。话音刚落，会场里掌声雷动！毕大师大声宣布:“和为比”。再次鼓掌！随后，比例体系越来越完善，“比例”一词也是毕达哥拉斯吸粉的重要工具。毕大师名气大，名人政要都请过，他很无奈。

音乐八度比例图音乐八度音阶图

毕达哥拉斯定理在一次著名的聚会上，各行各业的大咖都到场了。也许是厨子病了，大餐耽搁了，大家都饿了。毕师傅被脚下整齐排列的方砖吸引住了。在“万物皆有数”的信条指导下，毕大师在寻找方砖与“数”的关系。他拿出画笔，用方砖作对角线画了一个正方形。他发现新正方形的面积正好等于两块方砖。哇，太神奇了！接下来，取两块方砖组成的长方形的对角线，做一个正方形。发现这个新正方形的面积等于五块方砖。哇，真的太神奇了！一个大胆的猜想瞬间蹦了出来:“在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两条边的平方之和。”毕大师于是给了他一个严谨的证明！而我应该充当这个定理的代言人。

“勾股定理”的诞生，让毕大师在江湖中的地位日益凸显，各路英雄纷纷慕名而来，成为兄弟会成员！其中有一位来自小亚细亚西南海岸的帅哥，成功地成为了毕老师的得意门生。他的名字是“希帕索斯”。小溪也很争气，认真完成老师布置的作业还经常自己买练习本刷题，每年都获得“三好学生”的称号！

命运像个顽童，总是在你不经意间给你开个小玩笑。

小得过毕大师真传，秘籍1，万物皆有数，世间万物可用整数或整数之比表示；秘籍2，毕达哥拉斯定理，直角三角形三边的关系。这两套秘籍各自单独可以称霸江湖，但是这两套秘籍放在一起，问题就出现了。

边长为1的正方形的对角线长度如何表示为两个整数之比？(现在我们知道是√2，当时没有根号的概念！)

相传小Xi不仅提出了这个问题，而且给出了一个证明，用严密的逻辑陈述了世界上没有两个数的特定能量来表示这个长度。当这个问题被放到领导毕面前时，小西注意到领导眼中的一丝寒意。领导掩饰住自己的情绪，和蔼地对小溪说:“这个问题问得好。我想考虑一下。”然后在心里背诵一首诗:

小西小西很厉害，

我找不到整数比，

我一想到你就生气，

扔到海里喂鱼！"

无理数的由来的第一个版本

小西帮助海鱼解决温饱后，数学界并没有平静下来。后人将此称为“第一次数学危机”。为了纪念小溪，他们认为他是发现无理数的第一人。对于黑帮老大毕来说，把一个坚持真理的人扔进海里简直是无理取闹，所以这样的数被称为“无理数”。

这也是老师给我讲的故事，然后我就觉得不对劲。小西在这件事上是讲道理的。他是理性的一方，所以他找到的数应该叫“有理数”，而王弼代表的那一派确实不合理，所以他们支持的数应该叫“无理数”。数学名词不能这么草率的用情感来定义吧？其实这只是后人解读的一个笑话！其实“无理数”的命名还有另外一个版本。

无理数的第二个版本

由于碧哥的成员都相信一切都可以用两个整数的比值来表示，整个世界都是和谐的，成比例的，但是希帕索斯的发现却让帮派成员陷入了无比的恐慌。但是，事实就是事实。小西同学沉入海底后，兄弟会公布了最新的研究成果，说明了√2不可比拟的事实。根据亚里士多德的记载，兄弟会使用了反证法。(也有人说这是希帕索斯的证词)证明如下:

假设√2是一个有理数，那么√2可以表示为两个整数的比值。记住√2=a/b，(而且a和b互质)，

两边平方后，2b = a，显然a是偶数，那么a是偶数，设a=2m，

代入后我们得到:2b = a = 4m，那么b = 2m，那么b是偶数，那么b是偶数。

这与A和B互质的假设相矛盾。那么√2就不是有理数了。

这和今天的证明是一致的！

由于当时还没有“有理数”的概念。只有原来的ratio（比例），所以把“有理数”叫成“可比数”更加稳妥，而“无理数”应该被叫成“不可比数”或者“无比数”。

今天我们来看有理数(有理数)和无理数(无理数)这两个词，显然是比(比)的升级版。它们是由希腊语词根演变而来的，其本义是可比和不可比的区别。如果当年我把“无理数”叫做“不可比数”，我会觉得更有道理！也许是在流传的过程中，有些词根翻译不当，历史开了个玩笑，一直玩到今天！

经典几何高峰期

像√2这样的数是不可比的，即它的大小不能用现有的数来解释，但很明显它的长度可以用一条线段来表示。这使得希腊数学的重心从数转移到了几何，因为几何可以处理无理数。在随后的几千年里，几何成为了严谨数学的基础，而算术和代数并没有获得独立的地位。与此同时，经典几何也达到了前所未有的巅峰！

我们可以看到，数学家们一直在回避“无理数”这个怪物！实际上，它并没有为无理数提供可靠的算术理论基础。西方数学家在遇到“无理数”问题时，必须严格用几何来处理。“无理数”问题搁置。谁能打破这种沉默？

数学大牛们的超级秀

中世纪以后，欧洲数学逐渐复苏。东方的数学逐渐传到西方。由于东方数学的影响，特别是在算术方面，算术和代数的发展在欧洲取得了突出的成就。到了16、17世纪，无理数在欧洲的应用越来越广泛，但对于无理数是否是实数却有很大的分歧。

观点一:无理数不是实数。因为在用小数点表示无理数时，无理数无法准确把握，所以不是实数。支持这一观点的有斯特费尔、帕斯卡和牛顿。

观点二:无理数是独立数。荷兰数学家史蒂文承认无理数是数，并利用有理数推动其向前发展。

他们...笛卡尔也承认，无理数是可以表示连续量的抽象数。不管是哪种，都只是一种看法，数学家还没有搞清楚无理数的概念。

笛卡尔笛卡儿

当时间轴设定到19世纪，无理数理论才真正成立。数学家汉密尔顿在20世纪30年代出版了作为纯时间科学的代数。本文用时间的概念来解释数字。他把所有有理数和无理数放在一起，就像时间的流逝。他还提出用有理数的除法来定义无理数，可惜最后没有完成。

1869年，法国数学家梅尔在有理数的基础上给出了无理数的定义，与康托尔给出的定义相同。无理数定义的核心是“分”的概念。一个划分将所有有理数分成两类，这样第一类中的每个数都小于第二类中的每个数。比如，如果所有平方小于2的有理数都放在第一类，其他的放在第二类，这个划分就不是由有理数决定的。使得每个这样的划分对应于一个唯一的无理数。另一种定义方式是，斯托尔茨在《普通算术》课程中证明了每一个无理数都可以表示为无限个无循环小数。这也是我们今天所熟悉的无理数的定义。

至此，古希腊发现的无理数终于有了严格的定义。“第一次数学危机”解除了！不难看出，无理数的逻辑定义有些不自然。逻辑定义的无理数是智能怪兽，所以数学家很难长期掌握无理数，这才是真正的本质原因。事实上，直到19世纪，一些保守的数学家仍然没有接受这样的无理数理论。

但无论怎么样，严格的无理数理论的建立是现代分析学和几何学发展的基础，是数学发展史上一次重大的进步。最后，让我们再次把掌声送给我们的英雄--“希帕索斯”。

[1][美]m·克莱因。古今数学思想[M]上海:上海科学技术出版社，1979。

[2]李文林数学珍品[M]北京:科学出版社，1998。

[3]胡作宣。现代数学史[M]济南:山东教育出版社，2006。