直角三角形面积公式(直角三角形面积公式图解)

怎么想到用三角形面积公式？

一看就觉得无聊。你用什么代替公式来求三角形的面积？但是，随着应该使用的面积公式在教学推进的过程中越来越多的出现，学生们却从来没有想到使用它，于是他们回过头来重新审视这个使用最广泛的面积公式。三角形的面积等于底边和高的乘积的一半，所以不应该简单。

首要应用是给出三角形的底和高，计算三角形的面积，使用的运算是乘法。现在，在操作上有所改进。如果面积已知，就可以求出底数或高度，然后马上换成除法。增加计算量根本不值得。

另一种考察方式，进入观察图形，这个应用很奇妙，以下面两个问题为例。

第一题

如图所示，△ABC的面积为4cm，AP垂直于∠ABC的平分线，垂足为P，则△PBC的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ cm。

解析:

元素有△ABC的面积，BP平分∠ABC，AP⊥BP，结论是△PBC的面积；

从△ABC的面积出发，求△PBC的面积，题目其他条件与线段长度无关，说明用最初等的面积公式法不可行。因此，我们必须找到这两个三角形的面积之间的数量关系，并且由于△PBC在△ABC之内，并且共享同一条边，所以猜测它们是倍数。我们来证明一下。

BP是角的平分线，也是AP的垂线。这两种线重合，很容易让人联想到等腰三角形中的“三线合一”。那么，等腰三角形在哪里？您可能希望在D点将AP扩展到BC，如下所示:

很容易证明在△ABP和△DBP中，∠BAD=∠BDA，所以BA=BD，并且得到等腰△ABD。然后根据三条线的组合，点P就是AD的中点。

至此，得出了这个题目的关键。BP是△ABD的中线，CP是△ACD的中线。都可以把三角形分成面积相等的两部分，所以S1=S2，S3=S4，这四部分之和为4cm，所以“各取一半”得到S2+S4=2，所以△PBC的面积为2cm

从这道题的思维导图可以看出，重点在于三角形中线的等面积，而这个结论是建立在三角形面积公式“等底等高”的结论上的。因此，学生需要将条件中的“中线”与“角平分线”和“垂直线”的因素联系起来，而这三个因素都集中在一条线段上。目前只能三条线合为一条，所以辅助线法是将AP延伸构造等腰三角形。在实际教学中，八年级学生很难想到这一层。大部分都是抢着去构造全等三角形，甚至还有一些自以为是的同学用所谓的模型去尝试，说中线是BP的两倍长，误以为△ABC是等腰直角三角形来构造手拉手模型等等。虽然是填空的问题，但确实让一些同学原形毕露。

第二个问题

如图△ABC，∠C = 90°，AC=2BC，分别使对称点A，B，C关于各自的对边& # 39；，B& # 39；，C & # 39，如果△A & # 39；B&第39名；C & # 39的面积是48厘米，那么BC的长度是_ _ _ _ _ _ _ _厘米。

解析:

画画很重要。理解“对称点在相对的两边”，即点A和点A & # 39关于BC对称，点b和点B& # 39；关于AC对称，点C和点C & # 39关于AB对称，如下图:

图中最容易找到的是一对全等三角形，△ABC≔△A & # 39；B&第39名；c、根据全等三角形的性质，它们对应的线段是相等的，那么问题是，它们对应的线段除了对应的边之外，还包括对应的中心线、对应的角平分线和对应的高度。哪一双是我们需要的？

因为条件给出了△A & # 39；B&第39名；C & # 39面积，观察三角形，直线CC & # 39⊥AB和ab∨a & # 39；B&第39名；很容易证明，所以CC & # 39⊥a&#39；B&第39名；，如果延伸，就不完全是△A & # 39；B&第39名；C & # 39个子高吗？如下图:

现在关注线段C & # 39e，它由三部分组成，即CE、CD和C & # 39d，从轴对称性质，CD = C & # 39d，由全等三角形性质，CD=CE，所以这三条线彼此都相等，所以C & # 39E=3CE，所以我们可以求出△A & # 39；B&第39名；c的面积是△A & # 39；B&第39名；C & # 39的三分之一，等于16 cm，所以△ABC的面积也是16 cm。然后由三角形面积公式得出1/2BC AC = 16 cm。我们把AC换成2bc，得到BC =16，得到BC=4cm。

从这个问题的思维导图可以看出，AC=2BC其实是一个伏笔。触发方程的关键结论是△ABC的面积，还是和上一题差不多。面积是从面积，和△A & # 39；B&第39名；C & # 39和△A & # 39；B&第39名；c同底，有3倍高的数量关系。如果要观察这种数量关系，有必要扩展DC得到整个△A & # 39；B&第39名；C & # 39高线和平行线的关系也要从轴对称推导出来，所以这个问题的难点在于找到条件元素之间的关系。找不到就跟老师说你看不懂题。

解决问题的思考

这两个关于三角形面积空的问题，学生刚开始的时候，大多有点迷茫，不知道从哪里突破。也就是说，没有深刻理解对称性的本质含义，他们甚至没有想到三角形面积公式在这两道题中的运用。

让我们回到课堂教学。学生真的理解三角形面积的计算公式吗？

求三角形的面积，小学生也知道底乘以高再除以2。如果在教学中总是给出底和高来求面积，那就是机械的重复，达不到深刻理解这个公式的目的。到了初中，it的使用更加灵活，底部和高度不一定能从身材上直接体现出来。缺底或缺高的情况比比皆是。这种结构很差的习题，考验的是学生的整体构造能力。学生如何思考？

以三角形面积的计算公式为例。第一，要从整个初中的角度来看。在学习三角形、四边形、平移、轴对称、旋转的过程中，要从不同角度考察学生对公式的理解。其次，在每一个解题过程中，如果没有想到用，一定要反思，尤其是在分析学生解题思路的时候。解释你为什么这么想，引导学生问“为什么”。最后，在学生解题的过程中，你要有意识地弥补他们知识体系中的漏洞。暗示或者反思也是必要的。

当然，这一切的前提是老师要多研究问题，挖掘问题背后的知识框架，思考如何让学生建立相应的框架。

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