矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)

理论介绍:矩阵的迹运算自然来源于不变量理论(几何或代数)。对于一般张量空，迹运算可以构造所有不变量。

跟踪操作返回的矩阵对角元素之和:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图

由于许多原因，跟踪操作引起了人们的注意。如果不使用和符号，有些矩阵运算很难描述，但可以用矩阵乘法和迹运算符号清楚地表达出来。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵的robeniusFrobenius范数的方法:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(1)

Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和重新平方。使用trace操作来表示表达式，我们可以使用许多有用的方程来操作表达式。例如，跟踪操作在转置操作下是不变的:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(2)

多个矩阵的乘积的迹与将这些矩阵的最后一个移到前面后的乘积的迹相同。当然，我们需要考虑移动后矩阵乘积仍然定义良好:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(3)

即使矩阵乘积得到的矩阵在循环置换后形状发生变化，迹运算的结果也保持不变。例如，假设矩阵A∈Rm×nA∈Rm×n，矩阵B∈Rn×mB∈Rn×m，我们可以得到:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(4)

即使AB∈Rm×mAB∈Rm×m和ba ∈ rn× NBA ∈ rn× n。

另一个有用的事实是，trace运算后标量还是它自己:a=Tr(a)a=Tr(a)。

应用意义：

线性代数中，一个n×n对角矩阵A的主对角线(从左上到右下的对角线)上的元素之和称为矩阵A的迹(或迹数)，一般称为tr(A)。

例子如下:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(5)

对角元素是a，e，I，这三个之和叫做矩阵的迹。

我一直在想，为什么非要抓住这个矩阵的对角线不放呢？有什么高深的学问吗？

经过仔细考虑，矩阵的对角线可以代表一个对象的相似性。例如，图形的缩放变换中使用的矩阵是这样的:

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(6)

你在这里可以看到，对角线元素代表缩放，这意味着对象是相似的。

在机器学习中，主要目的是获取数据的特征值。也就是说，任何一个矩阵计算出来之后，都是可以简化的。只要得到矩阵的迹，就可以表示出这段数据最重要的特征，这样就可以删除很多不相关的数据，从而简化数据，提高处理速度。

矩阵的迹怎么计算(矩阵的迹需要阶梯化吗)插图(7)

作者:caimouse

资料来源:CSDN

原文:https://blog.csdn.net/caimouse/article/details/59697453

作者:MissXy_

资料来源:CSDN

原文:https://blog.csdn.net/MissXy_/article/details/81224529

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