三角体积公式是什么(三角形斜边计算公式)

本文作者刘瑞祥【遇见数学】感谢刘老师的贡献和支持！

人类三角形的研究至少有两千年的历史。在这种情况下，我大概不可能讲出新的内容。我尽量避免墨守成规，希望对读者有益。

一、三角形的特殊性

与其他多边形相比，三角形确实有一些特殊的特征，例如，它是唯一没有对角线的多边形，是唯一内角小于外角之和的多边形，是唯一有平面但没有立体的多边形，等等。但三角形最特别的地方在于，只要确定了一部分元素，剩下的就可以确定了。比如我们证明三角形全等的时候，有角、边、角、角定理。至此，我有一个疑问:无论是欧几里得的《几何原本》还是希尔伯特的《几何基础》，都是以棱角为基础，引入其他全等命题(希望有特殊的契约公理，但欧洲著作并不严格)，那么棱角是否可以作为其他全等命题的推论？或者说，这需要什么样的公理系统？这是一个问题。

此外，三角形在希尔伯特公理系统中有重要的应用。比如，除了前面提到的关于三角形的契约公理之外，至少还有一个公理与三角形直接相关——平面序公理，即通过三角形一边的直线一定会通过三角形的另一边之一。

关于三角形还有几点值得一提，比如无数的三角形面积公式。从小我们就知道底部是乘以高度的一半，直到我们用行列式来计算。我国数学家张景中研究过计算机生成可读性的几何证明课题，其中一个重要思想就是用面积证明。我想读者对这些面积公式了解很多。我只问一个问题:如果三角形面积公式不允许，你能证明等底等高的三角形面积全等吗？

三角形中的“心”有很多，常见的有重心、内心、外心、侧心、下垂心。你所知道的这些“心”的属性是什么？

二、“虚”的三角形

有时我们需要在证明题中构造一个或多个三角形。通常，面积法用于证明平行线与线段成比例:

并证明圆幂定理:

在反演问题中，需要证明一条已知直线关于一个已知圆的反演形状是一个过圆心的圆，还应该引入一个三角形。这方面最好的例子，我认为是用三角形的同余来证明同一个角的余角相等。

几何上我只举一个例子，就是证明直线垂直面的判定定理，需要多次证明三角形的同余。

三角形在立体几何中的应用远不止这些。比如证明两个三面角全等或者对称，类似于证明三角形全等，五个正多面体中有三个是由正三角形组成的。

三、尺规作图

在三角尺的绘制中是非常重要的。比如《几何原本》中的第一个命题是做正三角形，这个命题的第一次使用实际上是移动已知线段。几何元素这样做是因为这本书里的圆规是所谓的“松圆规”，也就是只要双脚离开页面就会合上的圆规，所以不能直接用来移动线段(见左图)。但最终，这幅几何原图还是需要一把尺子的配合。没有尺子怎么办？方法很简单(见右图):

给定点A和线段BC，要求做一条长度等于BC的线段作为顶点。

分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径做圆，二圆分别交于 D、E 点；分别以 D、E 为圆心，DC、EC 为半径做圆，二圆交于 F 点。AF 即为所求。

勾股定理意义重大，当然也会出现在尺子作图中，比如不用尺子把圆分成四份。

不仅在限制尺子作图方面，在一般作图中，三角形也有重要作用，如棱边定理或尺子作图的重要依据，如作角平分线、垂直线等。

读者对我上面的内容满意吗？