数学的起源(中国古代数学的起源简介)

*本文摘自《数学与人类文明》，蔡天心，商务印书馆。

当人们发现一对小鸡和两天有共同之处(数字2)时，数学诞生了。

伯特兰·罗素

1、计数的开始

如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱们消失在历史的迷雾中。然而，数学的每一步进步都伴随着人类文明的一次进步。几亿年前，住在山洞里的人就有了数的概念。他们可以通过增加或减少一些相同的东西来区分一些东西(许多动物也有这种意识)。原来，对食物的需求来源于人类的生存本能。慢慢的，人类对数字有了清晰的概念:1，2，3，…就像一个部落的首领需要知道有多少成员一样，牧羊人也需要知道自己拥有多少只羊。

在有文字记录之前，计数和简单的算术就已经发展起来了。猎人们知道把两支箭和三支箭放在一起就是五支箭。就像不同种族的主要家族成员的声音都是相似的一样，人类最初的计数方法也是相似的。比如数羊的时候，每只羊拉一根手指。后来逐渐衍生出三种有代表性的计数方法，分别是用石头计数(有的用小棍)、绑绳计数和刻痕计数(在土坯、木头、石头或动物骨头上)，既能记录大数，又便于积累和保存。

古希腊荷马史诗《奥德赛》中有这样一个故事:在英雄奥德修斯弄瞎了波吕斐摩斯唯一的一只眼睛后，这位不幸的盲人老人每天坐在他的山洞里照顾他的羊群。早上，羊群出去吃草。每出来一个，他就从一堆石头里挑一个。晚上，羊回到洞里，每进去一次，就扔掉一块石头。当他扔掉早上捡的所有石头时，他确信所有的羊都回到洞里了。这个故事告诉我们，很可能是牧羊人对绵羊数量的计算产生了数学。正如诗歌起源于祈求丰收一样，这两项人类最古老的发明都起源于生存的需要。

说起来有点残忍，有些美洲印第安人是通过收集被杀者的头皮来计算自己被杀敌人的数量，而有些非洲原始猎人是通过累计野猪的牙齿来计算自己被杀野猪的数量。据说生活在乞力马扎罗山山坡上的游牧女孩习惯在脖子上戴铜环，数量与年龄相等，比今天缅甸一些少数民族妇女保持的类似习俗更有审美意味。曾几何时，英国的调酒师用粉笔在石板上做标记来数顾客喝了多少杯，而西班牙的调酒师通过在顾客的帽子里放入鹅卵石来进行这种计数。这两种不同的计数方法似乎也反映了两个民族不同的性格:谨慎和浪漫。

后来出现了各种语言，包括对应不同大小数字的语言符号。后来随着书写方法的改进，形成了代表这些数字的书写符号。起初，两只羊和两个人这类地方的发音和用词是不一样的。例如，在英语中，一队马(两匹马一起拉车或犁)、一对牛(两头共轭的牛)、一对骡子(两头骡子)、一对狗(一对狗)、一双鞋(一双鞋)等等。至于汉语中量词的变化，变化就更多了，一直保留到现在。

但是，人类要把数字2抽象成一个共同的属性，用与大多数具体事物无关的某种读音来代替，可能还需要很长的时间。正如英国哲学家、数学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)所说，“当人们发现一对鸡和两天有共同点(数字2)时，数学就诞生了。”在我看来，数学的诞生可能要晚一点，就是当人们从“2个鸡蛋加3个鸡蛋等于5个鸡蛋，2个箭头加3个箭头等于5个箭头，以此类推”抽象出“2+3 = 5”的时候。

2.基数和十进制系统

当需要更广泛的数字通信时，计数方法必须系统化。全世界的人都采用了以下方法:取若干个从1开始的连续数作为基本数，用它们的组合来表示大于这些数的数。换句话说，如果一个大于1的数B被用作计数的进位制或基数，那么数1，2，3，...，B，那么任何大于B的数都可以用这B个数的组合来表示。

有证据表明，2、3和4都曾被用作本原数。比如澳大利亚昆士兰州的土著，就算“1，2，2和1，两个2，……”。一些非洲矮人把前六个自然数叫做“A，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”两种计数都是二进制的，它的应用后来导致了电子计算机的发明。阿根廷火地岛的一个部落和南美洲的其他部落分别以数字3和4为基础。

不难想象，由于人类的每只手和脚都有五个手指或脚趾，所以五位数制曾经被广泛使用。直到现在，一些南美部落仍然用手数数，“1，2，3，4，手，手和1，以此类推”。直到1880年，德国的阴历仍然以5为基础。1937年，捷克摩拉维亚出土的一只幼狼胫骨上的几十处刻痕，明显是五五开排列的。但是西伯利亚的乌卡吉尔人生活在世界上最冷的地方(勒拿河下游)，他们仍然以类似于5-10混合制的方式计数。

12也常用作基数，可能与它能被6个数整除有关，也可能是因为一年有12个回溯月。例如，一英尺有12英寸，一英寸有12美分，一先令是12便士，一磅是12盎司(体重计是16盎司，体重计是16盎司)。有意思的是，直到上世纪70年代，中国农村的秤还刻着两种十进制，包括十六进制。同时，没有十进制的中国人的文字中也有“打字”的概念。在英语里，除了打，甚至还有gross。一筐12打，一打12。

十进制也被广泛使用。它让我们想起了人类的赤脚时代，一双脚，一双手有20根手指。美洲印第安人使用过，包括高度发达的玛雅文明。在法语中，四个20仍然用来代表80(quatre-vingts)，四个20加10来代表90(quatre-vingt-dix)。这种痕迹在丹麦语、威尔士语和盖尔语中也能找到。令人惊讶的是，并非所有这些地方都是温带地区。在英语中，20(分数)是一个常见的词，而在汉语中，也有“20”这个词。至于古巴比伦人使用的60进制，即使在今天，在时间和角度单位上仍然是不可或缺的。

但是，最终人们还是普遍接受了十进制。在有记载的历史中，包括古埃及的象形文字，中国的甲骨文数字和计算数字，希腊的阿提卡数字，印度的婆罗门数字等。，都采用了十进制。在我们的心目中，10已经成为数字系统中一个不可避免的单位，就像2已经专属于计算机一样。原因很简单。亚里士多德，一位博学的希腊哲学家，为我们指出“十进制的广泛采用仅仅是一个解剖学事实的结果，即我们大多数人生来就有10个手指。”

除了说话，用手指表示数字也已经被采用很久了。Digit在英语中最初指手指或脚趾，后来指从1到9的数字。现在我们处于数字时代。其实原始人甚至文明人在口算的时候，往往会同时做出一些手势。比如说到“十”字，往往一只手拍另一只手的手掌。对于一些部落或民族，我们可以在计数时通过观察他们的手语来判断他们的隶属关系。在今天的中国，我们仍然可以通过一个人出拳的姿势来大致判断出这个人来自哪个地区或省份。

3.阿拉伯数字系统

根据考古发现，刻痕记谱法出现在大约3万年前。经过极其缓慢的发展，终于在公元前3000年左右，出现了书写符号和相应的数字体系。可能会受到手指数量的影响。最早书写的代表数字1、2、3、4的符号，大多是对应数字的垂直或水平堆叠。前者有古埃及的象形文字，希腊的阿提卡数字，中国的竖片数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横片数字，印度的婆罗门数字(4个数字除外)。

有意思的是，上述受手指影响垂直或水平表示前四位数字的数系都采用十进制，而另外两个著名的数系，即巴比伦楔形数和玛雅数，分别用尖尖的小等腰三角形和圆点表示，却采用60进制和20进制。在数字5和5之后，即使是属于同一个竖写的数系也有不同的表达方式。以10为例。古埃及人用yoke或∩(集合论中的“联”)，古希腊人用△(第四个希腊字母)，而中国人用四个竖字加一个横字。

所谓阿拉伯数制是指用十个标记表示的十进制数制，0，1，2，3，中间代表1，中间代表10的1倍，例如，在数字911中，1在右边代表1，1在中间代表1在当今世界存在的数千种语言体系中，这10个阿拉伯数字是唯一通用的符号(比拉丁字母使用更广泛)。可以想象，如果没有阿拉伯数字系统，全世界的科技、文化、政治、经济、军事、体育交流将会非常困难，甚至不可能。

阿拉伯数制又称为印度-阿拉伯数制，因为它是印度人发明的，经阿拉伯人改革后传到西方。后一种文明的流通完成于12世纪，前一种发明的起源不详。只是由于现代考古学的进步，在印度的一些石柱和窑洞的墙壁上发现了这些图形的痕迹，时间大约是公元前250年到公元200年。值得一提的是，那些痕迹中并没有零的数字，而是在公元825年左右，阿拉伯人华拉·米子所著的《印度的计算》一书中描述了完整的印度数字。今天，英语和德语中的零是根据阿拉伯语音译的。

阿拉伯数字在鼎盛时期随着阿拉伯人的远征传入北非和西班牙。据说有一个叫利奥波德的意大利人在西班牙接受了穆斯林数学家的教育，并游历到了北非。他回到意大利后，于1202年出版了一本数学著作，这是阿拉伯数字传入除穆斯林以外的欧洲的里程碑，促进了后来意大利文艺复兴时期的数学。有趣的是，也是在13世纪，威尼斯人凯尔·波罗第一次让欧洲人访问东方。当时，横跨欧亚大陆的君士坦丁堡是一个战乱之地。这位旅行者也绕过了地中海，途经北非和中东，但方向与阿拉伯数字传输路线相反。

4.形式和几何

数制的出现，使书写数字和计算数字成为可能。在此基础上，在几个古代文明地区发展了加减乘除甚至初等算术。后来，数制的统一使世界数学的研究和应用插上了翅膀。和数的概念的形成一样，人类最初的几何知识也是从对形状的直觉中萌发的。例如，不同种族的人注意到满月和挺拔的松树之间的图像差异。可想而知，几何学就是建立在这种从自然界中提取的“形”的总结之上的。

直线只是一根拉紧的绳子，希腊英语斜边(斜边，弦)的原意是“拉紧”。我们可以想象这是一个直角的两条手臂的连接，手臂变成了两条直角边。所以，三角形的概念是通过人们对自己身体的观察得到的。无独有偶，中国古代也是如此。钩子和大腿，和腿和大腿一样，也是直角三角形的较短或较长的右边，所以我们有勾股定理的名称。在Xi安半坡出土的陶器碎片上，我们可以看到完整的全等三角形图案，每边由8个等间距的孔连接而成。同样，圆、正方形、长方形等一系列几何形态的概念也来源于人们的观察和实践。

正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的礼物”。早在公元前14世纪或者更早的时候，埃及的一个国王就把土地分给了所有的国民，每个人都得到了一块同样大小的土地，然后据此纳税。如果每年的尼罗河洪水毁坏了某人的土地，它必须向法老报告损失。法老会派人测量失去的土地，并相应减少税收。就这样，几何学(geomerty)产生并发展起来。geo表示土地，metron表示测量。这种负责量东西的人有个特别的名字，叫绳担架。

巴比伦的几何学也来源于实际测量。它的重要特征是它的算术性质。至少在公元前1600年，他们就熟悉了矩形、直角三角形、等腰三角形和一些梯形的面积计算。古印度几何学的起源与宗教和建筑实践密切相关。公元前8-5世纪形成的所谓绳经，讲的是祭坛和庙宇建造中的几何问题及其解决方法。在中国古代，几何学的起源更多地与天文观测有关，最晚写于公元前2世纪的《周吉演算经》就讨论了天文测量中使用的几何方法。