数学期望公式(cosx的数学期望怎么求)

凯利公式之所以是对学渣最友好的公式，有两个原因:

第一:公式很简单，一看就懂，懂了就能用。

第二，让人保持清醒，这有很多含义。

在介绍这个公式之前，我们需要一个传奇人物，比尔·巴特。为了低调地靠赌博赚钱，比尔巴特放弃了香港赛马一亿元的头奖。此后，他依靠自己的预测系统收获了赌博界的“庄家”，全球业务累计10亿美元，可谓真正的“闷声发大财”。

在比尔·巴斯的预测系统中，如果只有MLR模型(即多元线性回归模型)，比尔已经在一篇关于MLR的论文和自己的编程技巧的基础上实现了其预测系统；论文的核心是讲述赛马中的各种变量，包括场地、骑手素质、马匹素质、历史胜负、天气情况等。，然后用统计模型拟合数据来预测比赛结果)。显然，这是不够的。必须有一个安全机制来合理地阻止“贪婪的欲望”。

在2004年的国际华人数学家大会(ICCM)上，比尔大方地分享了他的赌马模型，其中提到的最重要的一点就是凯利公式。可以说，如果没有这个公式，比尔不可能获得如此高的回报率。

凯莉，是谁？约翰·拉里·凯利(1923-1965)1923年出生于美国得克萨斯州。第二次世界大战期间，他作为飞行员加入了美国海军。

退役后，他去了德克萨斯州的奥斯汀学习物理。1953年，他获得了物理学博士学位。毕业后，他进入贝尔实验室工作，该实验室有诺贝尔奖批发部之称。

在贝尔实验室，他遇到了他的朋友兼同事，著名的信息论创始人克劳德·香农。1956年，凯利受到香农信息论的启发，在内部期刊《贝尔技术系统杂志》上发表了题为《信息传输速率的新解释》的论文。

然而，这并不是论文的原标题。原标题比较有意思，叫信息论与赌博。因为公司高层觉得这样的称呼有损公司的道德形象，他们被迫改了名字。

但凯利的初衷是从一个棒球比赛中赌徒的角度，思考如何进行合理的下注，使资产的指数增长最大化。虽然题目不严肃，但是论文的证明过程还是相当严谨的。

后来，香农指示另一位数学之神应用凯利的研究，击败了拉斯维加斯的各种赌场。

这位数学之神就是爱德华·索普。

真正的赌神还得靠数学

数学怪胎爱德华·索普(Edward thorp)作为加州大学洛杉矶分校物理系的研究生，痴迷于轮盘赌。他一直认为可以根据球的输入角度和轨迹来预测球的落点，所以想设计一个基于变量计算的轮盘赌轮盘预测系统。

然而，现实阻止了他。因为他手里的轮盘模型太简单了，而他恰好快毕业了，论文还没写完，所以对轮盘的研究就停止了。

毕业后，索普迷上了轮盘赌，所以他去了拉斯维加斯。在离开之前，他在《美国统计学会杂志》上读到了一篇关于如何赢得21点游戏的论文。

至此，索普觉得21点似乎比轮盘赌更有趣，他有必要尝试验证一下这篇论文的内容。所以索普把论文中的理论应用到赌场，但是输得很惨。

于是索普自己开始研究21点的游戏，并很快创立了自己的理论，在此基础上写了一篇论文，名为《21点的制胜策略》。为了成功发表论文，他求助于香农，香农不仅同意帮助索普发表论文，还建议他将题目改为《21点的有利策略》。他说:“科学院的那些人很传统，所以要低调。」

但本文有一个不完善之处，因为它只考虑了21点游戏本身的策略，而没有涉及游戏过程中如何下注。巧合的是，香农告诉他，一位名叫约翰·凯利的同事已经完成了他的研究。

两个数学大神的思想碰撞，一个研究如何“多赢”，一个研究如何“少输”。

所以索普用凯利的公式来量化21点的游戏。通俗的解释就是:胜算大的时候多下注，胜算小的时候少下注。基于这一理论，索普“血洗”了拉斯维加斯的各大赌场，并将所有的获胜战术写进了《击败银行家》一书，最终被赌场禁书。之后索普不断完善自己的理论，在金融市场做量化交易，这是后话。

那么，凯利怎么样？可惜，也许是出于对人才的羡慕，凯利在41岁时突发脑溢血去世。他直到去世才为公众所熟知。

然而，凯利的公式在未来慢慢显示出它的威力。在60多年的发展中，凯利公式一直被投资界和博彩界奉为经典。

那么，想赚钱吗？先拜拜凯莉。

那凯利到底怎么用呢？先看公式。在某个百科全书里有详细的记载。在这里，我会用一种即使是书呆子也能理解的方式写下来:

f:单注与本金的比值；

b:除本金外计算的赔率；

p:胜率，这个赌赢的几率；

问:损失率，这个赌输的概率；

(p+q)= 1；

根据凯利公式，用这个F比下注，可以最大化收益复利效应，降低风险。

例如，我可以玩掷骰子游戏。当我投1，2，3(小)时，你赢；当我掷出4、5、6(大)时，我就赢了。我每次赌10块钱。你赢了，你拿30元，你输了，你没钱了。

分析时，你抛入如下的小情境:

胜率p = 0.5

故障率q = 0.5

b =(30-10)/10 = 20/10 = 2；

如果你有100元钱，根据公式:

f= [(2*0.5)-0.5] /2 = 25%

也就是说，在这个胜率下，你可以用25块钱试试运气，这是最合理的。

如果你足够幸运，连续赢了20场，按照公式下注，收益如下:

看着复利效应的收益率曲线，谁能不激动？

每当你的运气平衡时，现实的残酷就会迎面而来:

这种收入曲线让人不安。

现实可能更残酷。庄家可能不会给你这么高的赔率。如果你改变赔率:你赢了你拿20元，你输了你就没钱了。这还好玩吗？

我再分析一下，你投的小情况如下:

胜率p = 0.5

故障率q = 0.5

b =(20-10)/10 = 10/10 = 1；

如果你还有100元钱，根据公式:

f= [(1*0.5)-0.5 ] /2 =？？？

在这一点上，数学建议你不要碰这个游戏。

如果你对凯利公式感兴趣，想用程序实现下面的，可以参考下面的代码:

代码来源:http://www.gitweixin.com/? p = 664

所以根据「凯利公式」就能赚钱吗？

其实凯利公式只是让你合理配置投资比例，风险最小。但是，仅仅依靠凯利公式是完全不可行的。

应用凯利公式有两个先决条件:

第一:在游戏中，你的数学期望必须是正的。换句话说，这个游戏需要从数学上判断是否值得参与。

第二:单次投注的胜率和赔率肯定是固定的，但是从一个独立事件来看胜率是不可靠的。我们需要打足够多的比赛来判断胜率是否统计固定。

如果你只玩一次或者几次游戏，除了运气什么都不要信。

比尔·巴特之所以能赢钱，是因为他花了大量精力和金钱建立的预测系统。这个系统之前也提到过。凯利公式在系统中提供了降低投资风险的功能，定制的MLR模型实际上保证了他赛马的胜率高，让赛马在数学预期中值得一玩。

所以凯利公式让我们认识到一个道理。想赚钱，运气不好的话，学数学需要一个好脑子。

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原文已删除。

来源:图灵教育

编辑:姚峰