tanx的平方(tanx的平方等于secx的平方-1)

1.适用条件

【直线过焦点】，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中a为直线与焦点所在轴的夹角，为锐角。x是分离比，必须大于1。

注意:上述公式适用于所有圆锥曲线。如果焦点是内部划分的(意思是焦点在截取的线段上)，用这个公式；如果外分(重点是截取线段的延长线)，右边是(x+1)/(x-1)，其余也一样。

2.函数的周期问题(记忆三)

(1)若f(x)=-f(x+k)，则T = 2k

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T = 2k

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意:a .周期函数，周期一定是无穷大b .周期函数可以没有最小周期，比如常数函数。c .周期函数加周期函数不一定是周期函数，比如:y=sinxy=sin，加x就不是周期函数。

3.对称的问题(无数人不明白的问题)可以总结如下

(1)若满足r(下同):f(a+x)=f(b-x)为常数，对称轴为x=(a+b)/2。

(2)函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的像关于x=(b-a)/2对称；

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)像关于(a，b)中心对称。

4.函数奇偶性

(1)对于属于R的奇函数，f(0)= 0；

(2)对于参数函数，奇函数没有偶次幂项，偶函数没有奇次幂项。

(3)奇偶影响不大，一般用选填空

5.序列爆炸强度定律。

(1)在等差数列中:s奇数=na，例如S13=13a7(13和7是下角标)；

(2)在等差数列中:S(n)，S(2n)-S(n)，S(3n)-S(2n)是等差。

(3)在几何级数中，当公比不为负时，上述2中的各项相等，但当q=-1时，不一定成立。

(4)几何级数的爆发强度公式:S (n+m) = S (m)+QMS (n)可以快速求出q。

6.数列的终极武器，特征根方程。

首先介绍公式:对于an+1=pan+q(n+1为下角标度，n为下角标度)，

若已知a1，则特征根x=q/(1-p)，则数列通式为an = (a1-x) p (n-1)+x，这是一阶特征根方程的应用。

二阶有点麻烦，不常用。所以就不赘述了。希望同学们记住上面的公式。当然，这种类型的序列是可以构建的(同时将两边的数字相加)

7.功能补充说明

1.复合函数的奇偶性:内偶为偶，内奇与外奇相同。

2.复合函数的单调性:同增异减。

3.关于三次函数的关键知识:恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是一个中心对称的图形。

它有一个对称的中心。解决方法是二阶导数后的导数为0，根X是中心的横坐标。纵坐标可以由X定义成原函数。此外，必须只有一条直线通过与两边相切的中心。

8.常用顺序BN = n×(2n)sum Sn =(n-1)×(2(n+1))+2的记忆法。

前面减一个1，后面加一个2，整体加一个2。

9.适用于标准方程的爆炸强度公式(聚焦于X轴)

ellipse =-{(b)XO }/{(a)yo } k double = {(b)XO }/{(a)yo } k throw = p/yo

注:(xo，yo)是直线通过圆锥曲线的截面的中点。

10.强烈建议两条直线垂直或平行杀。

已知直线L1: a1x+b1y+C1 = 0，直线L2: a2x+b2y+C2 = 0。

如果它们是垂直的:(充要条件)a1 a2+B1 B2 = 0；

若平行:(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[

这个条件是为了防止两条直线重叠)

注意:以上两个公式避免了斜坡是否存在的麻烦，直接秒杀！

11.经典中的经典

我们都知道邻居会互相抵消。

让我们来看看下面的消除项:

对于sn = 1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]= 1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)

注:除其他项外保留四项，即前两项和后两项。把自己的公式写在草稿纸上，会显得清爽整洁！

12.爆炸强度公式△面积

S=1/2∣mq-np∣其中矢量AB=(m，n)和矢量BC=(p，q)

注意:该公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题。

13.你知道吗？在空之间的立体几何中:下列命题都是错误的

(1)在空中三个不同的点定义一个平面。

(2)垂直于同一直线的两条直线平行。

(3)两组对边相等的四边形是平行四边形。

(4)若一条直线垂直于平面中无数条直线，则该直线垂直于平面。

(5)两个面相互平行，其他面为平行四边形的几何体是棱柱。

(6)一面为多边形，另一面为三角形的几何是金字塔。

注:不适用于初中生。

14.一点知识点。

棱柱长度相等的所有棱锥都可以是三棱锥、四棱锥和五棱锥。

15.求f (x)的最小值= ∣ x-1 ∣+∣ x-2 ∣+∣ x-3 ∣+∣ x-n ∣ (n为正整数)

答案是:当n为奇数时，最小值为(n-1)/4，当x=(n+1)/2时得到；

当n为偶数时，最小值为n/4，在x=n/2或n/2+1时得到。

16.√[(A+B)]/2 ≥( A+B)/2≥√AB≥2ab/(A+B)(A和B为正数，为统一定义域)

17.椭圆焦点的三角形面积公式

S = btan (a/2)在双曲线中:S = b/tan (a/2)

注意:它适用于焦点在X轴上的标准圆锥曲线。a是两个焦点半径之间的角度。

18.爆炸强度定理

空向量三公式解决所有问题:cosA=|{向量a .向量B }/[向量a的模×向量B的模]

(1)A是线与线之间的角度。

(2)A是直线与平面的夹角(但公式中cos用sin代替)

(3)A为面之间的角度注:以上角度均为[0，pie /2]。

19.爆炸强度公式

1+2+3+…+n = 1/6(n)(n+1)(2n+1)；1 ^ 3+2 ^ 3+3 ^ 3+…+n ^ 3 = 1/4(n)(n+1)

20.爆炸切线方程的记忆方法

用对称形式写，换一个X，换一个y。

例:对于y = 2px，可以写成y×y=px+px。

将(xo，yo)带入其中一个:y×yo=pxo+px

21.爆炸强度定理

(a+b+c)n[归并后]展开的条件是:Cn+22，n+2在下，2在上。

2.转变观念

切线长度l = √ (d-r) d表示圆外一点到圆心的距离，r是圆的半径，d是圆心到直线的最小距离。

23.对于y =2px

穿过焦点的两条垂直弦AB和CD之和至少为8p。

爆炸定理的证明:对于y =2px，设过焦点的弦倾斜角为a。

那么弦长可以表示为2p/[(sina)]，那么垂直弦长就是2p/[(cosa)]

所以根据三角知识，我们又可以知道和了。

(题目意思是弦AB过焦，CD过焦，AB垂直于CD)

24.一个重要的绝对值不等式的引入是爆炸性的。

∣|a|-|b|∣≤∣a b∣≤∣a∣+∣b∣

25.用ln解不等式的一个想法

例:证明1+1/2+1/3+…+1/n >: ln(n+1)

把左边想象成1/n的和，右边想象成Sn。

解法:设an=1/n，设Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，

然后只需证明an >:即bn，根据定积分的知识，画出y = 1/x的图形。

An=1×1/n=矩形面积>:曲线下面积=bn。当然，证明1 >: ln2 .

注:仅供有能力的童鞋参考！！此外，这种方法还可以推广，即把左边和右边看成级数的求和，就可以证明面积。注:前提是包含ln。

26.爆炸强度的简单公式

向量A在向量B上的投影为:[向量a×向量B的量积]/[向量B的模]。

记忆法:投影在哪里除以哪个模块？

27.解释一个容易出错的点。

如果f(x+a)[a任意]是奇函数，那么结论是f(x+a)=-f(-x+a)[方程右边不是-f (-x-a)]

同理，如果f(x+a)是偶函数，可以得到f(x+a)=f(-x+a)记在心里。

28.离心率爆炸强度公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注:P为椭圆上的一点，其中A为角度F1PF2，腰角为M，n。

29.椭圆的参数方程也是个好东西。它可以解决一些最小的问题。

比如x/4+y = 1，求z = x+y的最大值。

解法:设x=2cosay=sina再次以三角形为界。我不知道你比=0快多少倍！

30.只有能力的童鞋的爆发力公式。

和差积

sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2]cosθ-cosφ=-2 sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

乘积和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

31.爆炸强度定理

直视图的面积是原图的√2/4倍。

32.三角形向心爆发强度定理

(1)矢量OH=矢量OA+矢量OB+矢量OC(O是三角形的中心，h是三角形的中心)

(2)如果三角形的三个顶点都在函数y=1/x的像上，那么它的形心也在这个函数的像上。

30.维维安定理

正三角形中(或边界上)任意一点到三条边的距离之和是一个固定值，等于三角形的高度。

34.爆炸性的想法

如果两个根的乘积x1x2=m，则两个根的和x1+x2 = n。

我们要形成一个思路，就是回过头去构造一个二次函数。

m和n的取值范围可以用△大于等于0得到。

35.共同结论

过(2p，0)的直线与抛物线y =2px相交于两点A和b。

o为原点，连接AO。老兄..必须有一个角度AOB=90度

36.爆炸强度公式

ln(x+1)≤x(x & gt；-1)该公式能有效解决不等式的证明问题。

例:ln(1/(2)+1)+ln(1/(3)+1)+…+ln(1/(n)+1)< 1(n≥2)

证明如下:设x = 1/(n)，根据ln(x+1)≤x，有左有右累有右。

重新缩放:左和< 1-1/n & lt；1个证书！

37.函数y=(sinx)/x是一个偶函数

它在(0，pie)上单调递减，在(-pie，0)上单调递增。

以上属性可以用来比较大小。

38.功能

Y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷大)上单调递减。

另外，y = x (1/x)与这个函数的单调性是一致的。

39.几个数学易错点

(1)f `( x)& lt；0是定义域上单调递减函数的充要条件。

(2)在研究函数的奇偶性时，忽略第一步也是最重要的一步:考虑定义域是否关于原点对称。

(3)在不等式的应用中，重要的是要考虑“=”号是否得到。

(4)数列问题的学习不考虑子项，也就是说，有时第一项不符合通式，要极端注意:数列问题一定要考虑是否需要子项！

40.提高计算能力的五个步骤

(1)扔掉计算器。

(2)仔细审题(提倡慢读快解题)，要知道自己没看清楚题目算多少是没用的。

(3)熟记常用数据，掌握一些速算技巧。

(4)加强心算和估算能力。

(5)检查

41.一个绝妙的公式

已知AB=a，AC=b，O是三角形的外中心，

向量AO×向量BC(即量的乘积)= (1/2) [b-a]

证明:取O为BC垂直线，变换到已知边。

42.功能

①函数单调性的意义:大部分同学都知道，如果函数在区间D内是单调的，那么函数值会随着自变量的增加(减少)而增加(减少)，但有些人可能不是很清楚意义。如果函数在D中是单调的，那么函数一定是连续的(分段函数另当别论)。这也解释了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增，因为它的像被无穷渐近线挡住了。换句话说，

②函数周期性:这里主要总结一些函数方程要表示的周期，设f(x)是R上的函数，对任意x ∈ R。

(1) f (a x) = f (b x) t = (b-a)(加绝对值，下同)

(2)f(a x)=-f(b x)T=2(b-a)

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

(4)设T≠0，其中f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x，M(x)≠x，函数的周期为2。

43.奇偶函数概念的推广

(1)对于函数f(x)，若有一个常数a使得f(a-x)=f(a+x)，则f(x)称为广义(I)型偶函数，当满足两个不同的实数a和b时，f(x)为周期函数T=2(b-a)。

(2)若f(a-x)=-f(a+x)，则f(x)是广义(ⅰ)型奇函数。当满足两个不同的实数A和B时，f(x)是周期函数T=2(b-a)

(3)若有两个实数A和B满足广义奇偶性函数的方程，则称f(x)是广义(II)型的奇偶函数。而如果f(x)是广义(II)型的偶函数，那么当F是[a+b/2，∞)上的增函数时，有F (x1) < F(x2)等价于绝对值x1-(a+b p :

44.函数对称性

(1)如果f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则函数关于(a+b/2，c/2)是中心对称的

(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数关于直线x=a+b/2是轴对称的。

柯西函数方程:如果f(x)是连续的或单调的

(1)如果f (xy) = f (x)+f (y) (x >: 0，y & gt0)，然后是f(x)=㏒ax

(2)如果f (xy) = f (x) f (y) (x >: 0，y & gt0)，则f (x) = xu (u由初始值给定)

(3)f(x+y)=f(x)f(y)那么f (x) = ax

(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，则f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)，则f(x)=ax+b是特殊的。

45.与三角形相关的定理或结论。中学数学平面几何最基本的图形是三角形。

①正切定理(我自己取的，因为不知道名字):在非Rt△中，有Tana+Tanb Tana+tan b+ tanC = tanAtanBtanC。

②任意三角形投影定理(又称第一余弦定理):

在△ABC中，

a = BC OSC+CCO sb；b = ccosA+acosC；c=acosB+bcosA

③任意三角形的内切圆半径r=2S/a+b+c(S为面积)，外接圆半径要已知。

④梅内利奥斯定理:设A1、B1、C1为△ABC的三边BC、CA、AB的直线上的点，则A1、B1、C1共线的充要条件为CB1/B1a BA1/A1C AC1/C1B = 1。

46.容易出错的地方

(1)函数的各种性质的综合应用不灵活，如常用奇偶性和单调性来解抽象的函数不等式；

(2)三角函数恒等式变换不清，归纳公式速度不快。

47.容易出错的地方

(3)忽略三角函数中的有界性，三角形内角的限制，比如在一个三角形中，两个角的正切值不可能同时为负。

(4)三角形的平移变换不清晰，说明从y=sinx变为y=sinwx的步骤是将横坐标改为原物的1/∣w∣倍。

48.容易出错的地方

(5)在级数求和中，经常使用的错位减法总是粗心大意，计算错误。

回避法:写第二步时，提出容差，括号内为几何级数求和，最后去掉系数；

(6)数列中常用的变形公式不明确，如an=1/[n(n+2)]之和保持四项。

49.容易出错的地方

(7)序列不考虑a1是否符合根据sn-sn-1得到的通式；

(8)数列不是所有实数的简单函数，即注意在用求导的方法研究数列最大值的过程中是否发现问题。

50.容易出错的地方

(9)向量运算不完全等价于代数运算；

(10)取模运算中向量的平方后，忘了平方根。

比如2的答案，这个选择题里经常出现√2…，基本上就是选择√2，因为没有规定；

(11)复数的几何意义不明确。

51.关于辅助角公式

Asint+bcost = [√ (a+b)] sin (t+m)其中tam = b/a[条件:a >: 0]

注:有些同学习惯考虑sinm或者cosm来确定m，个人认为太容易出错了。

最好的方法是根据tanm确定m(见上图)。

例:sinx+√3cosx=2sin(x+m)，

因为tanm=√3，m=60度，所以原公式=2sin(x+60度)

52.a和B是椭圆x/a+y/b = 1上的任意两点。如果OA垂直于OB，则有1/∣ OA ∣+1/∣ OB ∣ = 1/a+1/b