抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)

教材(1)了解抛物线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

(2)掌握抛物线的定义、几何、标准方程和简单性质。

知识点详解

一、抛物线的定义和标准方程

1.抛物线的定义

平面上一点到一个固定点F和一条直线l(l不经过点F)的距离相等的轨迹称为抛物线。

点f称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。抛物线关于垂直于准线的直线对称，该直线称为抛物线的对称轴。

注意:直线L不通过点F，若L通过点F，则轨迹为通过点F且垂直于定线L的直线.

2.抛物线的标准方程

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图

注意:抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线焦点到准线的距离，所以p的值总是大于0。当抛物线标准方程中第一项的系数为负时，应该不会出现p < 0的误差。

二、抛物线的几何性质

1.抛物线的几何性质

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图(1)

2.抛物线的焦点半径

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图(2)

3.抛物线焦点弦

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图(3)

4.记住结论。

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图(4)

考向分析

关于抛物线的定义和标准方程

1.抛物线定义的本质可以概括为“一动三定”:一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定线L(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的偏心距)。

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图(5)

检验从两个方向求抛物线的标准方程。

抛物线的参数方程(抛物线的一般方程)插图(6)

测向三抛物线的简单几何性质及其应用

确定和应用抛物线性质的关键和技巧:

(1)关键:利用抛物方程确定和应用其焦点、对准等性质时，关键是将抛物方程转化为标准方程。

(2)技巧:结合图形分析，灵活运用平面几何的性质帮助解题。

考四个焦点和弦题。

利用该公式可以直接解决抛物线焦点的弦长问题。解题时需要根据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点的横坐标还是纵坐标确定，P是交点的横(竖)坐标之和还是交点的横(竖)坐标之差。这是正确解决问题的关键。

关于五次抛物线的最大值问题

1.在抛物线中，点到焦点的距离和点到准线的距离往往根据定义相互转换，从而求解。

2.关于从抛物线上的点M到抛物线焦点F和到已知点E(E在抛物线中)的距离之和的最小值，根据抛物线图形，交点E取为准线L的垂直线，从与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和为最小值。

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