剪切胡克定律(剪切胡克定律公式)

作为CAE工程师，你有没有想过为什么线性静力学分析只需要两个材料参数，杨氏模量和泊松比？

原因很简单。要表征材料在小拉伸或压缩载荷下的变形，只有知道材料在拉伸和压缩方向以及垂直于拉伸和压缩方向的变形规律，才能描述整个模型的完整变形状态。拉压方向的变形规律用杨氏模量描述，垂直于拉压方向的变形规律可以用泊松比描述。

1.什么是泊松比？

1829年，法国力学家西蒙·丹尼斯·泊松(Simeon Denis Poisson)发表了《弹性体的平衡和运动研究报告》，提出了泊松比的概念。

横向应变ε& # 39；与轴向应变之比ε的绝对值是一个常数，可以表示为μ= |ε& # 39；/ε|;当杆轴向伸长时，它横向减小，而当它轴向缩短时，它横向增大，所以ε& # 39；ε和ε的符号总是相反的，所以ε& # 39；=-με。

轴向压缩时横向增大轴向压力的横向增加

轴向拉伸时横向缩小轴向拉伸时的横向收缩

根据泊松比的定义，它描述了垂直于拉压方向的变形规律。对于各向同性材料，只需要一组杨氏模量和泊松比就可以完整地描述材料的变形。对于正交各向异性材料，需要定义一组三个方向的杨氏模量和泊松比来完整描述材料的变形。

2.泊松比的取值范围

下表显示了常见材料的泊松比，包括橡胶、金属、泥浆、玻璃和其他材料。可以看出，泊松比最大的是橡胶0.4999，最小的是软木0。

常见材料泊松比材料的普通泊松比

那么理论上，泊松比的最大值和最小值分别是多少？正如本文标题所示，泊松比理论上在-1到0.5之间。

让我们开始证明吧。

2.1最大泊松比为0.5。

有经验的工程师都知道，橡胶是完全不可压缩的，它的泊松比是0.5。为了计算结果的收敛性，在仿真分析中一般将橡胶的泊松比下调至0.495，这意味着它近似完全不可压缩。

为什么最大泊松比只有0.5？为什么说泊松比为0.5时完全不可压缩？

材料力学中的胡克体积定律可以解释这一切。

体积胡克定律表示单位体积的体积变化，计算公式如下:

θ=(V1-V)/V = 3(1-2μ)/E *(σ1+σ2+σ3)/3 =σm/K

在…之中

V1代表变形后的体积，

v代表变形前的体积，

表示单位体积的θ体积变化，也称为体积应变；

K=E/3(1-2μ)是体积弹性模量，

σ = (σ 1+2+σ 3)/3是三个主应力的平均值。

以下是体积虎克定律的推导过程。

取一个三维无穷小，变形前的长、宽、高分别为dxdydz。

，变形前的体积v = dxdydz

变形后三条边的长度为:

变形体积

，省略高阶小量是

。

用体积胡克定律计算体积应变:

(1)

根据广义虎克定律，当考虑泊松效应时，xyz受到三个方向的应力，

ε1、ε2和ε3的公式为

(2)

(3)

(4)

将公式(2)、(3)和(4)代入公式(1)得到

K=E/3(1-2μ)是体积弹性模量，

σ = (σ 1+2+σ 3)/3是三个主应力的平均值。

如果μ=0.5，体弹性模量k为无穷大，体应变θ=0，这意味着材料是完全不可压缩的。这就解释了当泊松比为0.5时，意味着材料是完全不可压缩的。体积弹性模量不可能取负值，所以最大泊松比为0.5。

2.2最小泊松比为-1。

G=E/2(1+μ)由杨氏模量、剪切模量和泊松比的关系。

另外，杨氏模量和剪切模量都为正，所以最小泊松比为-1。

3.负泊松比材料

当泊松比小于0时，意味着当杆被拉力拉长时，其截面尺寸也变大，体积增大。当一种材料受到压力时，它的横截面尺寸变小，体积变小。

负泊松比材料是1987年由威斯康星大学的罗德里克·莱克教授在《科学》杂志上发表的，而具有负泊松比的纸泡沫结构& # 39；s比率& # 34；，科学，235 1038-1040 (1987)。首先，提出负泊松比材料中存在特殊的铰链分子键，必须打开横向铰链才能实现纵向拉伸。