斐波那契数列(斐波那契数列通项)

斐波那契数列

+

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.看到这个系列，相信大家都能找到它的规律。后面的数学是前两个数的和。这是斐波那契数列，是意大利数学家做的。

列奥纳多·斐波那契发现了兔子繁殖的问题，所以这个系列也被称为“兔子系列”。

通用公式:

它的每一项都是整数，但通项公式是由无理数构成的。

求解通式的方法有很多，这里举几个简单易懂的进行分析。

此刻

方法一:用待定系数法构造几何级数2(初等代数解法)。

得到

结构方程

杰德

，所以

它可以从公式(1)和(2)中获得

简单易懂

方法二:用待定系数法(初等代数法)构造几何级数1。

设定常数

,

制造

规则

,

什么时候，有

……

同时建立上述n-2个公式得出:

∵

,

该公式可以简化为:

因此

……

(这是一个

带头，带头

成为最后一项

为几何级数中所有项之和)。

,

解决方法是

规则

方法3:使用特征方程(线性代数解)

线性递归序列的特征方程是:

杰德

,

。然后

∵

∴

杰德

黄金分割数列:对，斐波那契数列也叫黄金分割数列。他们之间是什么关系？

当n趋于无穷大时，前一项与后一项之比趋近于0.618(或者后一项与前一项之比的小数部分趋近于0.618)。如果你不相信我，你自己算算吧！

1÷1=1,1÷2=0.5,2÷3=0.666…,3÷5=0.6,5÷8=0.625…………,55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886… …

越晚，这些比例越接近黄金比例。

证书

同时分两边

获取:

。如果

极限存在，设其极限为x，

规则

。

因此

。

因为

杰德

所以极限就是黄金比例。

它还有什么其他特点？

斐波那契数列的整除性和素数生成

三个连续数中有且只有一个能被2整除，

四个连续的数字中只有一个能被3整除，

五个连续数字中有且只有一个能被五整除，

六个连续数中有且只有一个能被8整除，

七个连续数字中有且只有一个能被13整除，

每八个连续数字中有且只有一个能被21整除，

九个连续数中有且只有一个能被34整除，

…….

我们看到第5、7、11、13、17、23位数字分别是质数:5、13、89、233、1597、28657(第19位数字不是)

斐波那契数列的素数是无穷大吗？

斐波那契数列与矩形区域的生成有关，从中可以导出斐波那契数列的一个性质。

斐波那契数列第一项的平方和可以看成是不同大小的正方形。由于斐波那契递推公式，它们可以拼成一个大矩形。所以所有小正方形的面积之和等于大长方形的面积。可以获得以下身份:

杨辉三角有斐波那契数学。

自然界中的“巧合”

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自然界中的斐波那契数列和黄金分割

斐波那契数列在自然科学的其他分支中有许多应用。比如树木的生长，由于新枝的产生，往往需要一段时间的“休整”让自己生长，然后新枝才能发芽。所以，一棵树苗在一定间隔后，比如一年，会长出一个新的枝条；第二年，新枝“歇息”，老枝依然发芽；之后，老枝与“休息”了一年的枝条同时发芽，而当年出生的新枝则在第二年“休息”。这样，一棵树每年的分枝数就构成了斐波那契数列。这个定律就是生物学中著名的“鲁德维格定律”。

另外，通过观察延龄草、玫瑰、美洲地榆、大花波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合、鸢尾的花瓣，可以发现它们的花瓣都有斐波那契数:3、5、8、13、21、…

其中百合花瓣数为3，梅花为5，飞燕草为8，金盏花为13，向日葵为21或34，雏菊为34、55和89瓣。

斐波那契螺旋:蓟的头，有13个顺时针螺旋和21个逆时针螺旋。

这些植物知道斐波那契数列吗？不应该这样。他们只是根据自然法则进化成这样。这似乎是植物排列种子的“最优方式”。它可以使所有的种子大小相同但密度适当，这样就不会把太多的种子挤在圆心而分散在四周。叶子的生长方式也是如此。对许多植物来说，每片叶子都是从中轴附近开始生长的。为了在生长过程中始终最大限度地利用空空间(考虑到叶子是一片一片长出来的，而不是一次全长出来的)，每片叶子与前一片叶子的夹角应该是222.5度。这个角被称为“黄金角”，因为它和整个圆周一样。葵花籽排列形成的斐波那契螺线有时可以达到89甚至144。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机模拟实验，证实了当系统保持最低能量时，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。