arcsin0(arcsin1等于几分之派)

三角学是数学的一个分支，研究三角形的边和角之间的关系。几何学中随处可见三角学，因为每一个直边形状都可以分解成一组三角形。此外，三角学与其他数学分支有着惊人的复杂关系，尤其是复数、无穷级数、对数和微积分。

“triangle”这个词是16世纪的拉丁语派生词，来源于希腊语“triangle”和“metron”。虽然这个领域出现在公元前3世纪的希腊，但一些最重要的贡献(如正弦函数)来自公元5世纪的印度。由于古希腊早期的三角学著作已经失传，我想知道在印度是否还有。学者们独立地或在希腊的影响下发展了三角学。根据维克多·卡茨在《数学史(第三版)》(皮尔森，2008)中的说法，三角学主要是根据希腊和印度天文学家的需要发展起来的。

示例：帆船桅杆的高度

假设你需要知道帆船桅杆的高度，但你无法爬上去测量。如果桅杆与甲板垂直，桅杆顶部与甲板相连，则桅杆、甲板和索具绳索形成直角三角形。如果我们知道绳子离桅杆有多远，绳子穿过甲板的倾斜度，那么我们就需要确定桅杆的高度是一个三角函数。

对于这个演示，我们需要检查几种描述“倾斜”的方法。首先是斜率，这是一个比率，用来比较一条线垂直增加了多少单位(上升)和水平增加了多少单位(运行)。因此，斜率的计算方法是上升除以跑步。假设我们测量索具点距离桅杆底部30英尺(9.1米)(跑道)。通过将斜率乘以斜率，我们将得到升降杆的高度。可惜我们不知道斜率。但是，我们可以找到索具绳索的角度，并用它来找到坡度。角度是完整圆的一部分，定义为360度。这很容易用量角器测量。让我们假设索具绳索和甲板之间的角度是一个圆的71/360，或71度。

我们想要斜坡，但是我们只有角度。我们需要的是将两者联系起来的关系。这个关系叫做“正切函数”，写为tan(x)。角度的正切给出了它的斜率。对于我们的演示，等式是:tan (71) = 2.90。我们稍后会解释我们是如何得到这个答案的。)

这意味着我们的索具绳索的斜率为2.90。由于索具点距离桅杆底部30英尺，桅杆必须为2.90 × 30英尺，即87英尺高。(在公制中也是如此:2.90 x 9.1 = 26.4m米。)

正弦、余弦和正切

根据已知的直角三角形各边的长度和角度，还有两个三角函数可能更有用:sin(x)写成“正弦函数”，余弦写成cos函数”(x)。在解释这些功能之前，我们需要一些附加术语。接触的边缘和拐角被描述为相邻的。每条边有两个相邻的角。不接触的边和角被描述为相对的。对于直角三角形来说，直角的对边称为斜边(源于希腊语，意思是“下面拉伸”)。剩下的两边叫做腿。

我们通常对直角以外的角度感兴趣(如上例所示)。在上面的例子中，我们指的是相对于感兴趣的角度的腿的长度；同样，“游程”被认为是相邻腿的长度。应用于角度测量时，三个三角函数会产生边长比的各种组合。

换句话说:

角A的切线=对边长除以邻边长角A的正弦=对边的长度除以斜边的长度角A的余弦=邻边长除以斜边长

根据我们之前的mast示例，角度和切线之间的关系可以从图表中确定，如下所示。正弦和余弦图也包括在内。

值得一提的是，虽然超出了本文的讨论范围，但这些函数通过各种称为恒等式的复杂方程相互关联，这些方程总是成立的。

每个三角函数还有一个反函数，可以用来根据边比计算角度。sin(x)，cos(x)和tan(x)的倒数分别是arcsin(x)，arccos(x)和arctan(x)。

直角三角形以外的形状

三角学不限于直角三角形。它可用于所有三角形和所有有直边的形状，它们被视为一组三角形。对于任何一个三角形，在六个边和六个角的度量中，如果至少知道三个，通常可以确定另外三个。三条已知边和三个已知角的六种构形中，只有两种构形不能用来确定三角形的全部内容:三个已知角(AAA)和与已知边相邻和相对的已知角(ASS)。使用以下工具确定未知的边长和角度:

所述 正弦定理，它说，如果三个中的一个相对的角度/侧对两种措施是已知的，另一些则可能只从一个已知的确定：SIN（A）/ A = SIN（B）/ B = SIN（ C)/c该 余弦定理，它说，一个不为人知的一面可以从两个已知的两侧，它们之间的夹角被发现。它本质上是勾股定理，对不是 90 度的角度有一个校正因子：c2 = a2 + b2 – 2ab∙cos(C)三角形中的所有角 相加等于 180 度的事实 ：A + B + C = 180°三角学的历史

三角学遵循着与代数相似的道路:它在古代中东发展，通过贸易和移民转移到希腊、印度、中世纪的阿拉伯，最后到达欧洲(因此，殖民主义使它成为今天大多数人学习的版本)。在知识跨越文化界限后的几个世纪里，印度和阿拉伯继续在研究中表现出色，三角学发现的时间表变得复杂了。例如，直到1670年艾萨克·牛顿的独立发现，马达瓦1400年发现的无穷正弦级数才为欧洲所知。因为这些复杂性，我们会特别注意正弦、余弦、正切的发现和传递。

从中东开始，公元前7世纪的一位新巴比伦学者确定了一种计算黄道上固定恒星上升时间的技术。不同的星星天亮前升起需要10天左右，12个星座各有3颗星；10 × 12 × 3 = 360。360这个数字很接近一年365.24天，但是用起来方便多了。几乎同样的划分也在其他古代文明的文献中被发现，例如埃及和印度河流域。根据Uta Merzbach在《数学史》(Wiley，2011)中的陈述，大约在公元前150年，亚历山大的希腊学者Hypsicles对这种巴比伦技术的适应，很可能是Nicia Hipachas(公元前190-120)开始将圆切割成360度的趋势的灵感。使用的几何形状，Iba Valley确定三角函数(不再使用的函数)的值为7.5度(第一个圆的48个增量)。亚历山大的托勒密(公元90-168年)，在他公元148年的《天文学成就》中，确定了对于0.5度(720个增量三角函数值进一步促进了希帕克关于圆从0度到180度的工作)。

正弦函数最早的记录来自于5世纪印度的阿耶波多(476-550)的著作。“Aryabhatiya”(499)的第1.12节没有用度数来表示角度，而是包含了一个直角的四分之一正弦的顺序差的列表(增量为3.75度)。这是后来几个世纪大部分三角学的起点。

下一批继承了三角学的伟大学者来自伊斯兰的黄金时代。马蒙(813-833)，巴斯哈里发的第七任哈里发，巴格达智慧之家的创始人，赞助将托勒密的《天启》和阿亚巴塔的《阿亚巴提亚》翻译成阿拉伯语。不久之后，Al-khwārizmρ(780至850)在《Zρj Al-Sindhind》(820)中制作了精确的正弦和余弦表。正是通过这项工作，三角学的知识首次传入欧洲。根据杰拉尔德·图默在《科学传记词典7》中的记载，虽然阿拉伯语原版已经失传，但它是在1000年左右由阿尔安达卢斯(现代西班牙)的阿尔-马杰里提编辑的，他很可能在阿德拉德之前添加了正切表。它在1126年被翻译成拉丁文。