正整数是什么(整数是什么)

都是正数。

会是负数？

最近又有一个话题火了。从1到正无穷的正整数之和等于-1/12吗？我相信大多数人都会想“怎么可能？答案应该是正无穷大，有一个负数”当他们看到这个的时候。

超模和我邪恶的一笑(觉得他们帅)。作为一个专门做数学科普的十八线网络名人，今天我就给大家讲讲这个知识点。

惊人的等式

第一期告诉我们，格兰迪级数等于1/2。

第二期的结论似乎更可怕。所有自然数之和等于-1/12！

相信很多人看完视频的第一反应一定是:怎么可能？那是不可能的！

视频中，约瑟夫·波尔钦斯基(Joseph Polchinski)写的《弦理论》这本书甚至被用作证据，告诉我们这个公式的结论被广泛应用于物理相关领域。

同时，这本书看起来也不像是一个民间科学家自己在家里写的，我们就把态度从不屑一顾提升到怀疑吧。

现在，我们从头梳理一下，看看这期间隐藏着怎样的数学内幕。

看似简洁易懂的推导

一、格兰迪系列S1:

过程一目了然。接下来是所有自然数的和，可能有点麻烦:

证明分为两步。第一步是找到一个中间序列S2的值。

第二步是我们需要的结果:

无可挑剔！

非民事主体的批评

超模君说:虽然这是一个所有小学生都能看懂的证明，但一个中学文化程度的人已经能感知到证明过程中的尴尬感。如果你是大学生，听过微积分课，你绝对可以在视频中指出这些证明的一个巨大bug:

在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才能在不改变收敛值的情况下重新排列项。也就是说，对于非绝对收敛的无穷级数，不能任意改变求和顺序！这就是黎曼级数定理，也叫黎曼重排定理。

视频中的证明过程充满了民科的味道。从证明S1=1/2开始，级数求和的顺序一直被任意改变。用一些看似巧妙的“移项换号”“错位减法”的手法，得出了一个看似正确的令人信服的结果。

遗憾的是，从严谨的数学角度来看，上述所有证明过程都完全站不住脚。

的确，各种论坛上关于这个问题最常见的争论大致止于此:格兰迪级数是发散级数，无法总结。由于S1=1/2，所有的论证都是错误的，所以没有必要去读其余的。

看起来像是一群外国深井冰在试图愚弄愚蠢的欧洲人民。不幸的是，它已经蔓延到中国。中国学生的数学细节远远超出那些英国佬的想象，一眼就能看穿其中的道理。小明再一次被我们锐利的目光看穿。一切都只是个玩笑。

然而，这里真的结束了吗？这些英国人真的只是无聊的深井冰吗？视频里的托尼好像也是诺丁汉大学的物理学家。天哪，你大老远跑来就是为了开个公众玩笑吗？如果是错的，为什么这个公式在物理学中有深远的影响和应用？

我们应该更冷静地思考这个公式背后的含义。

我们在要求什么？

其实就像中学的时候，老师为了给学生解释为什么圆锥体的体积是与底部等高的圆柱体体积的三分之一，只是在一个圆锥形容器里装了三次水，然后再装一个与底部等高的圆柱形容器。中学老师不会真的告诉你多重积分的计算，托尼也不会真的告诉你所有自然数和的数学背景。这些看似漏洞百出，其实只是为了向你展示这个结论的存在，而不是严格意义上的证明。

为了追根溯源，我们应该首先理解一个本质问题:我们在寻求什么？

好像又是一个反问，但如果只是玩文字游戏来定义细节，那我就没必要写这些了。

是的，我们正在寻求“和谐”，答案是显而易见的。然而，“和”这个概念是怎么来的呢？

对于有限数的加法，“和”的确定是无可争议的——相加所得即所得。

但是，一旦被加数的项数变为无穷大，我们就很难直接带出我们所要求的“和”，而需要用极限的思想来逼近我们的“和”。

在大多数人接触到的传统数学中，无穷级数的和是用这个级数的前n项之和来近似的。换句话说，对于一个系列:

我们对它的前n项求和，得到一个序列{An}，其中:

是这个级数的前n项之和，如果级数{An}收敛于a。

然后我们说级数的和是a。

以上，我们严格给出了一种级数求和的方法:用级数的前n项之和来逼近其真值。这样我们得到的和就是所谓的柯西和。

我们有理由相信柯西方法得到的和是正确严谨的，但是我们有什么理由相信没有其他同样正确严谨的方法可以得到无穷级数的和呢？

意大利数学家安东尼奥·塞萨罗为我们提出了另一种求无穷级数“和”的方法，也是用极限来逼近，但塞萨罗是用前n项的部分和的平均值来完成这一点的。Sarodine定义了一个新的序列{Cn}，其中:

是这个数列的前n项的部分和的平均值，如果数列{Cn}收敛于c。

然后我们说级数的和是c。

可以证明，如果柯西和下的级数结果是α，那么塞萨罗和下的结果与柯西一致，也是α。

至于塞萨罗和柯西的比较，我们暂且绕过计算的复杂性。仅仅从数学的严谨角度，我们找不到一个理由说柯西优于塞萨罗。我们应该认为这两种求和方式至少在数学地位上是平等的。了解更多数学故事，推荐阅读《数学和数学家的故事》。

无独有偶，对于无穷级数“和”的定义，除了cesaro和，还有Abel和、Ramanujan和等等。cesaro还推广了上述和，给出了广义Chesaro和的概念。我们不应该在只了解柯西的情况下，否定这些各种“和”的正确性。

但似乎塞萨罗的这群数学家在做一件吃力不讨好的事情。柯西的定义不仅直观，而且易于计算，得到的结果也不会太差。那么，这些人是不是只说不做呢？

一，二，四，再来一次。

知道了我们所要求的，我们回到了最初的问题。这一次，我们将用理性和科学的方式再次总结正义系列。

一、格兰迪系列S1:

显然，柯西求和在这里似乎不适用。格兰迪级数的前n项和an是一个在1和0之间摆动的级数，它们并不收敛到某个数。如果我们手里只有柯西和这个工具，那么我们只能对这个看似简单的系列束手无策，就这么放弃了。

这个时候，如果把塞萨罗的方法用于和平会怎么样？

让我们分别计算{An}和{Cn}，看看能得到什么结果:

可以看出，虽然柯西和不存在，但切萨罗得到的平均数列有1/2的极限。因此，我们可以说格兰迪级数有1/2的切萨罗和。

我们发现安东尼奥·塞萨罗和不仅与柯西和相容(即如果柯西和存在，则切萨罗和存在且与柯西和相同)，而且切萨罗和在柯西和的不可解发散级数中也有它的位置。

不仅是cesaro sum，前面提到的Abel sum，Ramanukin sum等等都可以处理Grandi级数，一致的结果是1/2。

就像无理数把有理数域扩展成实数域一样，虚数把实数域扩展成复数域。各种新的求和方法使我们对级数的本质有了更深刻的认识。对于发散级数无穷多个加号背后的东西，我们终于可以进行理论计算，而不是望洋兴叹了。

现在，让我们再来看看S2:

这一系列正负摆动且趋势递增的幅度是否如视频中所说的等于1/4？

如果你拿出笔和纸来计算一下，你会遗憾地发现，S2数列的切萨皮克平均得到的序列{Cn}并不收敛。看来我们又有麻烦了。S2真的不能媾和吗？

广义切萨罗和再一次帮助我们解决了这个问题。这次我们用前n项的部分和的平均值来近似序列的和。

在二阶cesaro平均序列的近似下，我们真的得到了1/4的极限，这个和就是视频中给出的答案。同样，阿贝尔和拉玛努欣都得出这个正确的结论。

最后得出最让人难以接受的等式——自然数之和等于-1/12。

如果你忘记了，你会失望地发现，无论柯西和、塞萨罗和、广义塞萨罗和(即使推广到无穷阶)还是阿贝尔和，对于把所有自然数加到这个数列上，你都无能为力。似乎无论你用什么方法去逼近这个和，都会得到发散的结果。

然而，Ramanukin和他给出了这个正确的结果:-1/12。

数字-1/12并不是用空一个简单的数学把戏编造出来的，其中涉及到相当有趣而深刻的数学理论。

多想想。

在这篇短文的最后，让我们再多思考一点。在第一个视频中，视频的制作人留下了一个有趣的问题:

假设房间里有一盏灯，一分钟后打开，30秒后关闭，15秒后再次打开，然后每次操作时间减半。2分钟后灯是什么状态？

忽略普朗克的时间等因素不讨论。当我们从纯思维的角度来考虑这个问题的时候，会发现切萨罗和格兰迪级数的1/2体现的是一种物理叠加态，对吧？

视频中提到，所有自然数之和等于-1/12。物理学中已经有相应的实验从统计学的角度验证了这个方程的成立，这个结论在弦理论中得到了广泛的应用。另外，关于这个方程还有很多证明，最简洁的是黎曼函数在-1处的解的推广。

说到物理，有人是这样说的:“物理总是通过一些方法让数学尽可能地满足和服务于他，数学要严谨有据。”但我不能认同这种说法。

我觉得数学比物理更美，不是因为它比物理更严谨，而是因为它比物理更清晰。数学是基于干净简洁的公理体系，而物理学是基于突兀生硬的宇宙学物理常数。我相信物理世界同样严谨自洽。它像马赛克地板一样无缝，但我更喜欢整个大理石瓷砖。

来源：知乎作者：pineislet

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