圆周率的公式(圆周率的公式字母表示)

在古代，没有数学功底，圆周率的计算相当困难。我国伟大的数学家、天文学家祖冲之(429-500，字)用复切圆法计算圆周率到小数点后第七位。这已经是一项了不起的成就，直到1000年后，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一记录。

中国古代杰出的数学家祖冲之

牛顿-莱布尼茨发明微积分后，有了更巧妙的计算圆周率的方法。后来虚数的使用提供了更巧妙的方法。看到很多计算圆的公式，你是不是很疑惑，数学家是怎么找到那些复杂的公式的？

今天给大家分享一个用虚数求圆周率的通用方法。我们的推导过程都是初等数学知识。

首先，我们需要一个美丽的欧拉恒等式:

欧拉恒等式

那么我们很容易得到:

欧拉恒等式变换的结果

这个奇怪的恒等式就是我们生成圆周率级数的普适公式。因为右边是虚数，所以我们有一个巧妙的方法把它转化成无穷级数。

但是你需要提出一个基本的泰勒级数:

对数泰勒级数展开

在这个泰勒级数中，自变量是复数单位I，可以大胆使用。

对数级数赋值

那么我们就可以充分利用虚数的性质来操纵数学技巧，比如LNI = LN[(1+I)/(1-I)]= LN(1+I)-LN(1-I)，

马上就有:

莱布尼茨级数

这个级数，著名的莱布尼茨级数，是莱布尼茨在1674年用其他非常复杂的方法得到的，但是用这个级数求圆周率的效率太低了，因为收敛速度太慢。

让我们画一瓢，然后换上:

变换虚数I

使用同样的技术后，将其带入对数级数，立即得到:

圆周率级数

而且这个级数收敛的相当快，你取前四项就可以得到和祖冲之一样的精度。

这种技术已经屡试不爽。如果把之前的2和3改成5和-239，然后5+i取四次方，就可以得到另一个收敛非常快的著名公式——梅钦公式。梅钦公式至今仍是计算机计算圆周率的重要公式之一。

利用梅钦公式，即使手工计算，也能轻松得出圆周率到50位数；至于怎么分解，那就全看你对虚数单位I的处理了，这样的处理有无数种，你可以得到无数个圆周率的级数，它们的收敛速度也不一样。但是你在处理这种正负交错级数的时候要特别小心，因为有很多条件收敛级数的“炸弹”。

阿尔伯特·史密斯的《圆周率》

看到这里，你觉得虚数有这么强大的作用吗？我们可以通过处理它们得到不同的pi级数。是不是挺有意思的？其实虚数有很多应用。利用以上技巧，可以构造其他计算π的级数吗？请留言告诉我们！

好吧！今天到此为止。虚数是一个非常有趣和强大的数学工具。有兴趣的读者朋友记得关注我们，我们会分享更多有趣的数学知识。

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