质数有什么(特殊的质数有哪些)

算术中的基石

卡尔·弗里德里希·高斯卡尔·弗里德里希·高斯

C.德国伟大的数学家f .高斯曾经说过:“数学是科学的女王，算术是数学的女王。”这个被高斯称为算术的数学分支现在被命名为数论，即研究正整数或整数的学科。19世纪的数学家克罗内克有句名言:“上帝创造了整数，其他的都是人造的。”

数论的基本组成部分是质数。即2、3、5、7、11、13等不能被1以外的数整除的整数。质数不能分解成更简单的元素；它和数学的关系就像元素和化学的关系一样。化学家研究的数百万种化合物可以由大约100种化学元素合成。欧几里德证明算术的基本理论是:所有正整数要么是素数，要么可以唯一分解成一组素数。

如果质数小于300，则有62:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 7173, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229,233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,283, 293.

低于100的有25例，100 ~ 200的有21例，200 ~ 300的有16例。随着质数的增加，它们似乎会变得越来越少。如果选择一个更大的数，我们会发现10000到10100之间的质数只有11个，100000到100100之间的质数只有6个。这似乎证明了素数的个数随着数值的增大而逐渐减少，那么它们最终会消失吗？正如我们所知，地球上没有比92-铀更多的自然存在的元素。那么质数也同样适用吗？最大的质数是多少？

不存在最大的质数

早在古代，数学家就开始研究素数的性质。古希腊人首先证明了素数的个数是无穷的，所以实际上不存在最大素数。欧几里得的证明是已知的最古老的证明。

他通过假设最大素数的存在，得出矛盾，并用反证法证明。如果我们把所有的质数按升序排列，那么P1=2，P2=3，P3=5，以此类推。假设有n个质数，记住最大的质数是。现在把Q作为所有质数加1的乘积，有

现在我们可以发现，如果Q被上述任意一个素数整除，还有一个余数是1，所以Q不能被上述任意一个素数整除。但是我们知道，任何正整数要么是素数，要么可以分解成一组素数。这意味着Q要么是一个质数，要么能被一个更大的质数整除。与我们假设素数最大相反，原来的假设不成立，所以不存在最大素数。

质数是如何分布的？

我们知道素数的个数随着数值的增加而减少，但不会逐渐消失。接下来的问题是，我们能知道素数的分布吗？质数是否像化学元素在周期表上的排列一样，符合一定的分布？这是整个数学领域的重要问题之一。

质数之间的距离看似随机变化，但如上所列，呈递增趋势。素数定理表明函数x/ln(x)是小于x的素数个数的近似值，其中ln(x)是x的自然对数，我们用π(x)来表示小于x的素数的实际个数，随着x的增大，近似值逐渐逼近实际值。下表显示了这两个函数之间的比较:

没有一个简单的公式可以概括所有的质数，但欧拉提出了一个有代表性的公式:

因为对于每个整数n，函数值都大于或等于40的素数，所以输出的素数是:

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131,151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421,461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911,971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.

不可避免的是，公式在n=41时无法输出质数，因为结论必然是从下面的公式得出的。

此外，欧拉还提出了一个更重要的函数，也就是现在所知的ζ函数:

欧拉给出了ζ函数的无穷乘积形式。

其中的乘积包含所有素数p .由此可以得出一个明显的结论:当函数表示为无穷和时，和的通项取所有正整数，而当函数表示为无穷乘积时，乘积的通项只取所有素数。

欧拉函数在s >中定义:1有效。在一个域中，即使和包含无数的项，它们总是收敛到某个值。然而，当s

每一项都在无止境的增加。相比之下，取s=2

可以总结为

黎曼ζ函数

波恩哈德·黎曼波恩哈德·黎曼

波恩哈德·黎曼在1859年发表了他唯一一篇关于数论的论文。黎曼在本文中讨论了s >: 1时的一个函数，这个函数与欧拉ζ函数完全相同，但黎曼函数可以定义在所有实数上。其实黎曼ζ函数是定义在复数S上的，其中s=a+b i，I =-1。

黎曼证明了他的解析连续ζ函数与素数的分布密切相关。他惊人的直觉使他把连续复变函数的性质与实数的性质和素数的独立性联系起来。更具体地说，黎曼解释了π(x)与ζ函数零点的关系，其中π(x)是小于x的素数，黎曼发现当s是实数时，即使是负整数，如s=-2，-4，-6，…ζ函数都是零，但黎曼还发现函数的其他零点都出现在s=1/2+bi的直线上。第一个零点大约是b=14.134725。黎曼猜测ζ函数的所有非实零点都在s=1/2+bi上，虽然他还不能证明。这个猜想很快成为著名的黎曼猜想，成为理解素数分布的关键。最近至少计算机计算的前一千亿个非实零全部落在黎曼猜想的线上。然而，到目前为止，还没有证明这个猜想也不例外。

英国数论数学家哈代(G.H. Hardy)在他的《一个数学家的自白》一书中说，他在20世纪20年代从丹麦跨国南海回来之前给同事们留了一张纸条，他在纸条中写道，他已经证明了黎曼猜想，他预料到了航海的危险。尽管是一个坚定的无神论者，并致力于说服他人，哈代解释说，他写那张纸条的目的是希望上帝保佑他不被淹死。如果他淹死了，说明数学家们在死前都声称已经证明了，但是有两个著名的数学问题，就是费马大定理和黎曼猜想。费马大定理在数学界早就出名了。皮埃尔·德·费马，17世纪法国律师和业余数学家，也是数论史上的著名人物之一。他阅读了丢番图的《算术》,并在“边上的笔记”中这个命题旁边写道:

不可能把一个立方数除以两个立方数之和，也不可能把一个四次方除以两个四次方之和，更不可能把一个高于二次方的幂一般除以两个同次方的幂之和。关于这一点，我肯定找到了精彩的见证，可惜空这里的空格太小，写不下来。

费马死后，数学家们花了350年才把猜想变成这个定理。

数学界最难的问题？

乌拉姆的质数螺旋乌拉姆质数螺旋

黎曼猜想自发表论文以来的150年间，没有人能证明或证伪它，但费马大定理终于在1994年被安德鲁·怀尔斯成功证明。黎曼猜想是当今数学领域最著名、最突出的问题。同时，与费马大定理相比，黎曼猜想具有更深远的数学意义。事实上，很多数学家都是在黎曼猜想正确的假设下发展了很多数学领域。黎曼猜想似乎也比费马大定理更难解决。

ζ函数中编码的所有模糊的素数定律都没有被明确破解。但是黎曼猜想展示了一个更明显的关于素数的规律。1963年，波兰数学家塔尼斯拉夫·乌拉姆(Tanislav ulam)在美国专门研究核项目，并参与了曼哈顿计划，他在二战期间参加了一次会议。他在会议的研讨会上心不在焉地乱涂乱画。画一个正方形的网格图，然后在网格图的中心标记1，再按螺旋向外的方向按升序标记其他正整数。乌拉姆非常惊讶地注意到，当他以这种方式排列整数时，质数整齐地排列在网格图的对角线上。

这个结果是如此出人意料，以至于质数螺旋的图片出现在了1964年3月的《科学美国人》杂志的封面上，马丁·加德纳的文章《数学创造:质数的非凡知识》也发表在了杂志上。

螺旋的对角线上皆为质数螺旋的对角线上是质数。

图中所示的螺旋仅包含前100，000个整数。合数用黑点表示，质数用白点表示。在网格图中可以清楚地看到大量的白色对角线。即使使用1以外的数字作为螺旋的起点，也会出现同样的现象。对此没有人能给出明确的解释。但这意味着一长串素数可以由函数f (n) = an+bn+c生成，其中a，b，c都是整数。

如果我们把41作为螺旋中心的起始数，就会发现对角线上的数字正好符合欧拉发现的公式F(n)= n-n+41；如前所述，对于n的每个正整数，函数都有一个大于40的质数。

在插图中，41位于螺旋的中心，其他整数围绕螺旋逆时针排列。在网格中，合数网格标记为黄色，质数网格标记为白色。F (n) = n-n+41输出的前15个数字沿着棋盘的一条对角线排列。

数字的漩涡

虽然塔尼斯拉夫·乌拉姆因发现质数螺旋而广受赞誉，但他可能不是第一个发现者。阿瑟·c·克拉克(Arthur c . Clark)1956年的经典小说《城市与星辰》(City and Stars)第六章以主人公杰瑟拉克(Jesselak)在电脑屏幕上分析整数的“漩涡”开始，一边看着质数像珠子一样几乎整齐地排列在网的交织点上。似乎在乌兰发现质数螺旋的七年前，阿瑟·c·克拉克就已经发现了它。

数学家研究质数的性质是为了他们自己的乐趣。但是素数有它的现代科学应用，特别是在加密领域。美国政府情报机构NSA是世界上最大的理论数学家雇主。每当你在网上进行交易，如信用卡购物，你会使用公开密码匙加密，以确保你的交易安全。这就是著名的RSA加密算法，由罗纳德·利文斯特、阿迪·沙米尔和伦纳德·阿德曼基于微妙数论发明。

RSA加密算法使用两个大素数相乘得到的数字密钥。这个系统的安全性取决于分解大量数据的难度。使用所有已知算法分解大量数据所需的步骤数量随着数字的大小呈指数增长。这意味着密码学家总是比计算机领先一步。如果计算机处理器能够足够快地分解用于编码的128位数字，我们就可以开始采用512位。但是，如果数学家找到了新的更高效的分解算法，我们编码事务的安全性就会受到威胁。然而，密码学家仍然认为目前的算法是安全的，因为尽管数学家们已经寻找了许多世纪来破解的算法，但从未成功过。

去年，三位印度数学家——马宁·德拉·阿格拉瓦教授和他的两位毕业生Niraj Chear和Nitin sak Sena——发表了一种算法，用来测试一个数字是素数还是复合数。这个算法使用非常基本的操作，作者的代码只有13行。这个算法的一个重要的新功能是检验数字n是否是素数，所用时间是线性的而不是指数的。实际上这个时间是n的12倍，随着这个算法的出现，或许不排除有一个简单的分解算法却被过于草率的忽略了的可能。也许密码学家应该开始担心了。

作者Nick Mee，本文最初发表在+plus杂志网站上。

译者刘，是Meet Mathematics翻译团队的核心成员。