换个姿势学数学系列, 第 Meet00 篇改变姿势学数学系列，第00篇

指数生长

经济的快速增长

经常在新闻上看到这个说法，感觉很快，但是和指数有什么关系呢？

经济发展好的时候，中国GDP平均增长10%左右。假设初始GDP为A，第二年为a×1.1，第三年为a×1.1×1.1。改革开放四十周年，如果都长这样，就是一个(1.1) 40。

‖从指数增长的角度看改革开放的伟大成就

很明显，每年只增长10%。100元变成110元用了一年。看来是买不到更多的东西了。刚开始确实感觉速度一般，但是看起来数量不多。只要是指数级增长，最后的结果一定非常恐怖。

可以看看函数图像，一开始会给人“好像没怎么长”的错觉，因为图像很温柔。但是给定短时间，整个函数图像的斜率会疯狂增加，以至于几乎是垂直的。

对于这种增长，我们外行人称之为“滚利息”或“在驴上滚”，经济学上称之为“复利效应”。

负增长

反之，如果是负增长，则为0 < a & lt1 。

能否实现指数级的爆发式增长取决于基数a，这里我们可以用Geogebra做一个动画，展示一下。

从图中可以清楚地看到，如果出现负增长，那么这个值很快就会趋近于0，经济会迅速萎缩。

不擅长数学的国王

还有一个经典的故事，讲的也是同样的道理。

国王打算奖励国际象棋的发明者。他对国王说:“请在棋盘的第一格放一粒小麦，在第二格放两粒。将来，每个车厢将是以前的两倍大。我想要这么多小麦”。国王觉得这个要求太容易满足了，就答应了。当人们开始清点时，他们发现把所有的麦粒都带来并不能满足要求。

光是最后一格的数量就有18446744073709551616粒，全国五百年也做不完。

《朵拉A在梦中的指数增长》

这也会在漫画中作为主题。如果你看过哆啦a梦，你大概会记得里面有个道具叫“法器液”。

用了之后，一切都会像细菌一样分裂。事实上，这是指数增长。

大雄把乘法液滴在栗子馒头上，后一个没吃完。当他回到家，他发现房子里到处都是。

▌对数是什么意思？

‖对数是一种什么运算？

对数运算是知道底数和幂数[1]并计算指数；所以，对数和指数说的是同一件事。

这通过功率操作来表示:

，也就是所谓的“对数恒等式”。

如您所见，它的表示是

其中log代表对数运算(或对数函数)。之所以用log，是因为它的英文名字叫对数对数。b指基数，是对数函数中的常数；y是幂数，在对数函数中也叫“真数”，是这个函数的参数。

‖为什么对数很难理解？

这里对数是最特别的:从幂运算的角度来看，对数函数的参数就是幂运算的输出值。

刚才说的幂函数和指数函数分别是X A和A X。它们的参数与权力运行一致，那么如何使用它们，如何遵循它们；而现在完全反了，怎么用都不顺利。

对数——一个让很多学生出名又害怕的词。-普林斯顿微积分

为什么log()是指数型的？

log的参数是一个实数，很好理解。之所以看起来很难理解，是因为它是指数运算的逆运算。

那么，log函数的输出值是指数还是基数呢？

它必须是一个索引。

这种特殊的形式不需要寻找基地。比如以2为索引求4的底数，其实是对的。

4根，而这个动作恰好是幂运算本身:√ 4 = 4()。

所以不用麻烦了，这个特殊的表单一定是为了查找索引。

‖整理乱七八糟的名字。

名字太乱了，有必要整理一下。以这个代数表达式为例:

代数名

C →幂数与反对数

A →基数

B →对数&指数&若干倍

操作名称

给定a和b，求c → a的b次方(平方)。

给定a，c，求以a为底的b → c的对数。

给定b，c，求a →开b幂& A 1/b幂(幂)

‖为什么对数不直接称为指数？

这与对数的实际应用有关，我们将在下面立即谈到。

对数运算的▌规则

引入新概念，最重要的是制定兼容的操作规则。

对数运算(求指数)是幂运算的逆运算。我们之前讲过权力运行的规则，所以这个很简单。

指数加法对应乘方，指数减法对应乘方，指数乘法对应乘方，所以:

为了操作方便，经常使用以10为底的对数，所以

可缩写为log N或lg N，称为“常用对数”。

▌大对数

对数是怎么来的？

其实“对数”的概念比“指数”早出来。

索引的发明有什么用？

充其量就是少写数值，最终用途无非是科学计数。应该写几个零？太好了。但是对数更大。它的作用是把乘法变成加法。

为什么可以这样做？

仔细看看对数的运算规则，你就明白了:把乘除法改成加减法，把平方根改成乘除法，把高级运算降为二级运算。

天文学家最早使用这种方法来简化计算，因为研究恒星的轨道需要大量的乘法计算。由于有了对数，计算效率大大提高了。

用对数缩短计算时间，实际上让天文学家的寿命延长了很多倍。-伟大的法国数学家拉普拉斯

乘法和加法之间的桥梁

对数是乘法和加法之间的桥梁。

如果说“幂”是乘法液体，那么“对数”就是还原灯。

‖工件对数表

对数如何简化计算？

具体来说，人们通过查找对数表[2]来实现。以264×155的计算为例。

根据对数的算法，我们可以知道:

只要对数是已知的

具体值L，然后从表中一一找出他对应的真数，那么真数N就是264×155的计算结果。

那你怎么知道我？日志264和日志155都可以在日志表中找到。找出后，只需做简单的加法就可以得到L。

那怎么求实数n呢？

或者通过对数表，知道对数后，可以反过来查，就像查字典一样。

特定操作

根据资料，我国最后一张对数表是1977年出版的。后来随着电脑的普及，这个东西就没人用了。

但是，仅仅用文字来描述，还是有点抽象。正好我这里有一个对数表，就在实践中试试吧。有瘾。

步骤1:检查log 264和log155的值，并计算对数l。

对数表很厚，我们总能找到五位数的真数。我们要计算的乘数还有三位数，其实可以在前几页找到。

果然分别在第一页和第二页找到了。

190332是什么意思？

这个对数表用的是“常用对数”。对数只有遇到10的乘积才是整数，其他情况多为小数。

例如

由于整数部分是立即可见的，所以没有写在对数表上。上面写的六位数只是小数部分，这里叫“尾数”，前面的整数叫“指数”。

所以我们可以知道155的对数是2.19032，264的对数是2.421604。因此

第二步:从N到L找出真数，并计算结果

那怎么才能找到这个对数的真数呢？

我们可以看到它的整数是4，那么对应的N一定是10000到100000之间的数。知道了之后，我们就开始快速翻这张桌子。在翻的过程中，你会发现桌子突然变了。

怎么从六个变成四个了？

因为尾数的前两位数数到四位后都是非常相同的，所以直接把前两位数写在前面，这样后面就可以省略了，就像我们刚才省略整数部分(指数)一样。

知道了这些，我们就要找到前两个61，快速翻回来，发现61出现在67页。

然后慢慢回头，看看我们需要的1936在哪里。

这样，我们得到它，它的真数是40920。计算完成。

用现代计算器验证它[3]

现在用计算器验证一下。

完全正确。

对数的名称

这样你就能理解为什么叫“对数”了。哈哈哈，原来是一对用的。很难不这样称呼它。

工程师的象征

‖对数表的故事

第一张对数表是英国人皮纳尔制作的，当时他出版了一本名为《奇妙对数表的描述》的书。从那以后，对数表非常流行，尤其是在天文学家中间。因为，只要你手里有对数表，你就能以极快的速度进行各种运算。

17世纪初，开普勒用这个神器计算了火星的轨道。如果没有对数的帮助，他可能永远也不会发现开普勒定律，即行星运动三定律，它为牛顿的物理发现奠定了基础。

可以说，如果没有对数，现代科学会在很多年后诞生。

对数的发明就像黑夜中的一道闪电，毫无预兆地划破了长度空。它的出现是突然的，孤立的，出乎意料的，没有其他已知智慧的帮助，也没有遵循现有的数学思想。-摩尔顿

‖对数标尺图例

对数表运算可以很精确，但是要翻来覆去。

很多领域没必要用那么高的精度，只需要2、3位即可。

于是人们发明了对数尺子，两把尺子之间的滑动代表了加减。这样就不需要查表了，唯一需要做的就是阅读。

在战场上，对数尺是炮兵可靠的战友。

美国宇航局用它把人送上月球。

70年代以前，对数刻度的使用是工程师的必备技能和标志。

曾几何时，工程师们把尺子当成了传家宝，上了大学还要郑重地传给孩子。

对数在信息时代到来之前其实就是一个计算器，其实用性和重要性不言而喻。

数学几乎都是为了简化运算和偷懒而发明的。那个让你昏昏欲睡的符号，却让数学家和工程师深爱着她。当你不了解它的时候，强迫它使用，只能起到一个例子的作用。

对数尺已经远离我们几十年了。如果你真的想领略对数尺的魅力，你可以观看哔哩哔哩的相关视频。

▌作弊设备

现在，对数标尺以这种方式回到了我们身边。哦，真的很讽刺。

▌我读书很少，不要骗我。

在2014年，有一个非常受欢迎的节目叫做超级大脑。不知道大家有没有看过。

其中一个引起了很多关注。他是一个智障，但他可以在很短的时间内计算或估计一些权力的运作。他曾被认为是数学天才。

相信如果你了解对数表的威力，就不会太惊讶了。只要把对数表中的一些内容背下来，再加上一些练习，很快就能算出幂和对数，并不是一件很神奇的事情。和我们正常人相比，他的水平确实高很多，但数学天才这个说法实在是过誉了，就是在速算的世界里，比他水平高的人多了去了。[4]

最重要的是，速算不等于数学。手工快速计算大数现在已经没有实用价值了。计算机的出现把人们从繁琐的计算中完全解放出来。为什么要倒退？

给…作注解

[1]幂运算的结果称为幂数，但涉及对数时，可能称为真数。

[2]其实前两种对数表都不是小数，它们的底数都是1的小小数，比如底数b = 1+0.0001或者b = 1-0.000001。这样做自然是为了使变化速度尽可能小，以便于计算。

[3]数字多的情况不完全可用，而是落在两个数字之间。如果要求更高的精度，根据差异查表即可。

【4】题目来源于数学物理自学系列。这套书是十年动乱后高考恢复时提供给考生的自学用书。可以说是一代考生的集体记忆。

[5]费利克斯·克莱因(Felix Klein)是19世纪末20世纪初世界上最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人。他也是一位教育家和现代国际数学教育的创始人。

参考数据

《e的故事》《图解数学学习法》(“乘法和加法之间的桥梁”相关图片)《数学史》https://www.zhihu.com/question/33437910 @Tariel

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