顶点式二次函数表达式(二次函数的三种解析式)

二次函数的三种表达式:

知识总结

二次函数有三种表达式:

通式y = ax2+bx+c(a≠0)；

顶点y = a(x-h)2+k；

交点y=a(x-x1)(x-x2)。

三种表达各有特点。下面就来详细说说吧。

一、一般式：

一般表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)。a、B、C分别是二次项、线性项、常数项的系数。A、B、C分别有什么用途？

1.a的符号决定了抛物线的开口方向。当a > 0时，抛物线的开口向上，当a < 0时，抛物线的开口向下。

2.因为对称轴是一条直线，如果A和B符号相同且 0，对称轴在Y轴的左侧。因此，根据A和B的符号，可以判断对称轴的位置:左和右不同(即A和B符号相同，Y轴在对称轴的左侧下方，A和B符号不同，对称轴在Y轴的右侧)。

3.因为抛物线与Y轴的交点坐标为(0，c)，所以可以根据c的符号来判断抛物线与Y轴的交点位置:当c > 0时，交点在Y轴的正半轴上，当c < 0时，交点在Y轴的负半轴上，当c=0时，抛物线过原点(0，0)。

二、顶点式：

第二，最重要的一点:

1.抛物线的通式y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过公式得到，这样对称轴就可以是一条直线，代入顶点就可以得到定点的纵坐标。根据顶点坐标公式，可以求出对称轴为直线x=h，根据坐标的正负号，可以观察到顶点在哪个象限。

2.平移抛物线时，最好把它变成顶点，利用左加右减的规则进行平移。例如，将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的解析式为:如果抛物线向右平移6个单位，向上平移2个单位，则解析式为。需要注意的是，左右平移在顶点横坐标后面加减，上下平移在顶点纵坐标后面加减。

3.利用抛物线的顶点可以解决实际问题中的极大值问题。

三、交点式：

三、交货点:

1.交点从抛物线和X轴交点的横坐标获得。若抛物线与X轴的两个交点为A(x1，0)和B(x2，0)，则通式可转化为交点:y=a(x-x1)(x-x2)。另一方面，抛物线和X轴的交点坐标可以直接从交点得到。

2.根据交点可以快速计算出抛物线的顶点坐标，代入交点y=a(x-x1)(x-x2)即可得到顶点坐标。而且，(x-x1)(x-x2)一定是彼此的倒数，所以代入时只需要代入一个因子，将两个因子乘积的倒数乘以系数，就可以得到顶点纵坐标。在示例中:

某商场以每件30元的价格购买了一件商品。在试销过程中，发现该商品日销售量M(件)与每件价格X(元)满足线性函数m=162-3x。

(1)写出该商品在商场的日销售利润Y与每件售价X的函数关系；

(2)如果商场想每天获得最大的销售利润，每件商品最合适的价格是多少？最大销售利润是多少？

解:(1)y=(x-30)m=(x-30)(162-3x)

=-3(x-30)(x-54)

=-3(x-42)2+432

∵-3<0,

∴当x=42时，y的最大值为432。

(2)省略

(原因:这个二次函数和X轴的交点坐标是x1=30，x2=54，所以对称轴是一条直线，代入函数关系就可以得到最大值。)

注:对于y=-3(x-30)(x-54)，如果通过展开得到通式，然后去掉公式，计算量比较大，但是通过交点求最大值就简单多了。

方法:将二次函数的两个线性因子转化为这种形式y=a(x-x1)(x-x2)，代入对称轴即可得到最大值。

经典例子解释:

三、抛物线与直线的交点。任意两个函数图像的交点可以同时建立两个函数的解析表达式，求解方程组就可以得到交点的坐标。

比如求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴的交点。因为X轴的解析表达式为y=0，所以可以通过联立求解方程组得到交点坐标。抛物线和X轴的交点其实就是方程ax2+bx+c=0的解:

(1)当△ > 0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1，x2，方程组有两套解，则抛物线与x轴有两个交点，坐标分别为A(x1，0)和B(x2，0)。反之亦然。

(2)当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根x1=x2，方程有两组相同的解，抛物线与X轴有交点。此时，二次三项式ax2+bx+c是一条完全平坦的路，这条抛物线与X轴的交点就是抛物线的顶点。另一方面，如果抛物线的顶点在X轴上

总结:△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根，二次三项式ax2+bx+c是完全平坦的路，抛物线的顶点在X轴上，抛物线与X轴有交点。

(3)当△小于0时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实根，方程组无解，抛物线与X轴无交点。

概括:求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标，只需建立两个解析表达式，求解方程组即可。二次方程ax2+bx+c=kx+b的解是两个函数图的交集，而

经典例子:

已知抛物线与X轴相交于两点A(1，0)，B(-4，0)，与Y轴相交于点C，AB=BC。求这条抛物线对应的函数表达式。

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习题精讲：：

练习讲座: