根号2等于几(根号3加根号2等于几)

生活中的01 √2

我们都知道A4纸的尺寸是210*297mm，但是这个数字是怎么产生的呢？

在纸张设计者看来，1: 1.414是最适合标准化纸张类型的比例。从A0到A6，A0=841x1189mm的面积正好是1m2。长边连续对折，不会改变原来的比例(A4是对折4次得到的纸张)，但在这个过程中，不会造成任何纸张浪费，实用性极强。

不知道读者有没有注意到，1.414恰好是根号2的近似值。

打印纸的长宽之比是√2，你造吗？打印纸的长宽比为√2。你成功了吗？

√2是人类最早发现的无理数之一。从毕达哥拉斯的赫布索斯发现它到现在已经2500多年了。这个幸运又不幸的年轻人后来被他的弟子扔进了海里，因为他的发现与毕达哥拉斯学派的“万物皆有数”相矛盾。

公元前3世纪，希腊几何学家欧几里德在《几何原本》中首次给出了“√2是无理数”的完美证明。如果想了解更多无理数的历史，以及如何证明√2是无理数，可以参考我的书《一个高中数学老师眼中的数的发展史》(二)。

阶梯从02接近√2

如何得到这些纸张长宽比近似为√2的整数？

古希腊弟子毕适曾经做过梯子，但不是用来攀爬的，而是用来求无理数√2的近似值的，如下图所示。他们煞费苦心构造逼近√2的阶梯，或许是因为根深蒂固的“比数情节”。我一直以为可以找到两个自然数，让它们的比值等于√2。

看到这幅图，我们不禁要问:

首先，梯子左右两边的两列是怎么生成的？

其次，为什么同一级阶梯上的两个数之比可以逼近√2？

2.1建造梯子的规则

2.2生成数猜想

我们知道√2的近似值是1.414。这个1.414是怎么来的？离√2有多近？√2比1.414大还是比它小？

也许我们可以从平方根表查一下(我不小心暴露了年龄)。也许我们可以用袖珍计算器或电脑算出来。但是，不管怎样，都要有一个可靠的计算方法，才能在计算机里做出平方根表和程序。

我该怎么办？

要把一颗大理石雕刻成栩栩如生的肖像，艺术家不可能一下子完成。他要先切掉一些明显多余的石头，在此基础上，按照平面图把它雕琢成大致的“人形”。经过一次又一次的修整和琢磨，他终于可以完成一件精美的艺术品。

罗马大理石雕塑《索福克勒斯的半身像》,法尔法尔的罗马大理石雕塑“索福克勒斯半身像”

求√2的近似值，同理。先找个大概的近似值比较容易。例如，1是√2的粗略近似值。当然我们不满意，因为误差|√2—1|太大了。我们来修正一下1，比如加1/2，得到一个更好的近似值。如果不满意，我们会再修正一次，让它每次都更接近√2，直到清晰为止。这种方法就是逐次逼近法。

在实际工作和理论研究中，大多数数值计算问题都是用逐次逼近法来解决的。计算机是实现逐次逼近法的有力工具。

来，我们用逐次逼近法推进到√2！

首先√2总是大于1小于2，这就设定了√2的整数部分:

1 & lt√2 & lt；2，即√ 2 = 1...

确定√2小数点后第一位数字，我们可以把(1.1) 2，(1.2) 2，(1.3) 2，

(1.4) 2 …依次求解，直到(1.4) 2 = 1.96

1.4 & lt√2 & lt；1.5，也就是√2=1.4…

为了找到下一位，我们需要计算(1.41) 2，(1.42) 2，…等等。

每数几个数，就能多知道一个√2的有效数字。进度不快，但计算工作量越来越大。如何轻松计算？利用不等式的运算法则，可以大大加快计算速度。流程如下:

最终结果告诉我们，有理数577/408略大于√2，误差不超过十万分之一。这是√2的一个相当好的近似值。577/408≈1.41421568….

实际上√2和577/408的差别甚至小于十万分之一。因为支一1.5 >:√2 & gt；因此，1.4

这说明√2和577/408的差别甚至小于25万分之一。也就是说，误差小于4 ppm，即0.00004。

如果继续，可以求出√2的12位有效数字，再平方一次，就到了20多位有效数字。

但是用这种方法计算，得到的有效数字不是一个一个增加，而是成倍增加。

这样，我们可以得到阶梯中的一些数字，但不是全部。怎样才能得到阶梯中所有的自然数？先说“√2无理数”的图形证明！(参考请参考笨拙书证方法之三)

如下图:

为什么我们永远无法停止在图中划分BC和BD？BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC(∵△EDF为等腰直角且△BEF?△BCF)。接下来要在BC和DE之间辗转反侧。BC等于CD，CD减一个DE等于减一个FC，只剩下一个DF。现在轮到DE和DF来折腾了，它们是一个新的正方形的边和对角线，比例正好等于原来的BC和BD。所以，这个操作又回到了原来的问题，无限递归下去。最后的结论是，用我们的话来说，没有数X使得BC和BD的长度都是X的整数倍，所以BD/BC不能表示为两个整数p/q的比值(否则BD/p=BC/q，就变成那个X)。

如果这个几何图形的证明有点晦涩的话，把它“翻译”成代数证明会清楚得多:

代数解释一

那么p >可以被获得；q & gtc & gta & gt...，但正整数必须有最小的元素，这就产生了矛盾。

代数解释二

这个解释只是上述代数解法的另一种重新表述，本质上没有区别。

如图，设ABCD是边长为1，对角线AC=√2的正方形。我们用BC来度量AC，在AC上截取CE=BC=1。

那么AC=BC+AE，

也就是√ 2 = 1+R1。(R1 = AE < 1)。

第二步用AE测BC=AB=1，也就是说用r1测。1.注意，在△ABC中BC=EC，所以如果垂直线与E相交为AC在F处与AB相交，那么FB=EF=AE=r1。AF上截距AG=AE=r1，这说明，

1=2r1+r2。(r2 = GF & ltr1)。

但是AE用来测AF，正好用正方形的边来测它的对角线！因此GF:AE=AE:1，

这是一个永无止境的过程。

上述过程可以重写为以下形式:

如果继续上述过程，可以得到一个无穷无尽的公式。

也可以不用几何方法，用代数方法更简单地得到√2的连分式表示。

把√2表示成连分数有什么好处？也就是可以得到√2的最佳近似分数。我们前面得到的一串分数是3/2；7/5;17/12;41/29…是√2的最佳近似值。不信你可以试试。你能找到一个分母不超过5，并且比7/5更接近√2的分数吗？能不能找到一个分母不超过12的分数，比17/12更接近√2？这个可以证明，请感兴趣的朋友自己证明！

从上面的分析可以看出，古希腊人得到这个梯子接近√2，很可能是因为上述图形证据的变形。真相是什么？估计是个千古未解的谜吧！

03深受东方人喜爱√2

西方人喜爱1.618这个神奇的数字，它被中世纪数学家帕乔利命名为“神圣比例”。文艺复兴时期的天文学家、数学家开普勒称之为数学中的“宝藏”；著名画家达芬奇称之为“黄金分割”。

东方人更爱√2这个数字。在宋代，李杰和他的著作《营造法式风情》中，该书的第一幅插图《圆方方圆图》，就揭示了这一奇观。圆集合和方集合是什么意思？