截长补短法(截长补短法的方法总结)

一、优势互补:

当题目中出现线段之间的和差次数时，考虑取长补短；

优势互补的目的是将几个线段之间的数量关系转化为两个线段之间的对等关系。

二、典型例子:

例1如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠B = 2∠C，验证:AC = AB+BD

图1图1

证明:(截断法)如图，在线段AC上切AE = AB，接DE。

图2图2

AB = AE，∠1 = ∠2，AD = AD

∴△Abd≔△aed

∴ BD = ED，∠B = ∠AED，AB = AE

∠∠b = 2∠c∴∠aed = 2∠c =∠EDC+∠c

∴ ∠EDC = ∠C ∴ ED = EC(等角和等边)

∫AC = AE+EC

∴ AC = AB+BD(等价替换)

例2。如图，在一个正方形ABCD中，e和f分别是DC和BC边上的点，且∠ EAF = 45，连接EF。

验证:EF = BF+DE。

图3图3

证明:(补法)如图，在FB的延长线上补DE，使BG = DE，接AG。

图4图4

∵在一个正方形ABCD中，有AD = AB，∠D =∠ABG = 90°，DE = BG

∴△ade≔△abg∴∠1 =∠2，AE = AG

∠∠EAF = 45∠1+∠3+∠EAF =∠DAB = 90

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45 = ∠EAF

AE = AG，∠EAF = ∠GAF，AF = AF

∴△EAF≔△GAF∴ef = gf

∫GF = BF+BG = BF+DE

∴ EF = BF + DE

例3。如图，在△ABC中，∠a = 90°，AB = AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD在e点与BD的延长线相交

验证:CE = 1/2 BD。

图5图5

证明:如图，在f点将CE的延长线延伸到BA。

图6图6

* ce⊥be∴∠bec =∠bef = 90

∫BD等于∠ ABC等于∠ 1 = ∠ 2。

∴△bec≔△bef∴EC = ef

∠∠1+∠ADB =∠3+∠EDC，∠ADB = ∠EDC(等顶角)

∴ ∠1 = ∠3

AB = AC，∠BAD = ∠CAF = 90，∠1 = ∠3

∴△Abd≔△ACF∴BD = cf = 2 ce

即CE = 1/2 BD

三、拓展提高(作业)

例4。如图，在△ABC中，AM是BC旁边的中线。

验证:am < 1/2 ( AB + AC)

图7图7

例5。如图所示，在△ABC中，∠ABC = 60°，△ABC的角平分线AD和CE相交于点o。

验证:AC = AE+AD。

图8图8

例5。如图，梯形中ABCD，ad∨BC，CE⊥AB都在e点，△BDC是等腰直角三角形，∠ BDC = 90，

BD = CD，CE和BD相交于F点，连接AF。

验证:CF = AB+AF。

图9图9

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