上一期我们讲了十进制数及其换算。本期我们学习了计算机的原码、逆码和补码。这一期，重点是补。

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引入这三个代码的原因是什么？

为了解决计算机减法的问题，由于CPU运算器中只有一个加法器，所以减法必须转换成加法。

那么你可能会问，为什么不加个减法器呢？

其实除了节约成本之外，比如1-1=1+(-1)=0的机器只能做加法不能做减法，这样电脑运算的设计就更简单了。

为什么要用补码来存储？

介绍机号，真值，原码，逆码的背景。

1.机器数量

一个数在计算机中的二进制表示称为这个数的机号。数字是有符号的。一个数的最高位用来在计算机中存储符号。正数为0，负数为1。

比如十进制的数+3，计算机字长是8位，换算成二进制就是0000 0011。如果是-3，就是1111 1101。然后，000000011和1111 1101这里是机器的数量。这台机器包含符号和数字部分。

2.真值

因为第一位是符号位，所以机器号的形式值不等于真实值。

比如上面的有符号数1111 1101，它的最高位1代表负，它的实值是-3而不是形式值253(1111 1101由无符号整数转换成等价于253的十进制)。

因此，为了区别起见，有符号位的机器数对应的真值称为机器数的真值。

例:真值0000 0001 = +000 0001 = +1，真值1000 0001 =–0111 1111 =–127；比如-3的二进制码是1000011，这是我们电脑里-3的原码。下面介绍原代码。

在计算机中，有符号数有三种表示法:原码、反码和补码。

最高位表示数字的符号，其他位表示数值。

无符号数:值:255(最小值0)到(最大值255)(正值0)

有符号数:值:127(最小-128)到(最大127)(负1)

3.原始代码

概念:正数的原码等于自身。顾名思义，原码就是原数。

例如:[+7]original = 0000111 b[-7]original = 10000111 b

[+表示0 7-0表示符号位为正——计算机字长为8位，所以中间填充8位0000-7二进制表示111-b表示这个数是二进制数]

8位二进制可以表示[11111110111111]，即[-127，127]

4.反向代码

概念:正数的倒数等于自身。

例如:

[+7]原始00000111B

[+7]逆=00000111B

概念:负数的逆是其原码的符号位不变，其余位逐位反转。

原始代码:[-7] Original =10000111B

逆代码:[-7]逆=11111000B

5.补充

概念:正数的补数等于自身。

尽管C标准没有规定某种有符号数的表示，但几乎所有的机器都使用二进制补码。

[+7]原始= 0000111b [+7]补充= 0000111b

概念:负数的补码是其原码的符号位不变，其余位逐位反转，最低位加1。

例如:

原始代码:[-7] Original =10000111B

补码:[-7]补码=11111001B

二进制的补码是什么？

补数记法的概念:正数的补数和负数的补数一致，负数的符号位是1，既是符号位也是数值位，然后加1。

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模数的概念:计量单位称为模数或模数。

理解补码“模”的概念，有助于理解三码转换的数学原理。

例如，时钟以十进制计数，即以12为模。

在时钟上，通过增加(正向拨号)12的整数位或减去(反向拨号)12的整数位，时针的位置保持不变。14点，模块12落下后，就变成了(下午)2点(14=14-12=2)。从0点逆时针拨10格，即负10小时，或从0点顺时针拨2格(加2小时)，即2点(0-10=-10=-10+12=2)。所以在模12的前提下，-10可以映射到+2。因此，对于模数为12的循环系统，加2和减10的效果是相同的；所以在一个模12的系统中，所有减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题变成了加法问题(注:计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分运算最后都要转换成加法)。对于模12，0和2是互补的。同样，计算机的运算部件和寄存器都有一定的字长限制(假设字长为16)，所以它的运算也是模运算。当计数器计数到16位，即65536个数时，就会溢出，从头开始计数。溢出量是计数器的模数。很明显，16位二进制数的模数是2 ^ 16 = 65536。在计算中，两个互补的数叫做“补数”。例如，一个有符号的8位数字可以表示256条数据，最大数是0 111 111 (+127)，最小数是1 000 000 000(-128)；那么第255个数据，加2减254也是一样的效果。结果是第一个数据，所以2和254具有相同的效果。对于255，2和254是补数。

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负数在计算机中如何表示？

比如+8在计算机中表示为二进制1000，那么-8是怎么表示的呢？

很容易认为一个位可以指定为符号位。等于0时表示正数，等于1时表示负数。例如，在8位机器中，每个字节的最高位被指定为符号位。那么，+8就是00001000，-8就是10001000。

但是，随便找一本计算机原理的书就会告诉你，其实计算机是用二的补码来表示负数的。

求正数对应的补数是一种数值转换方法，要分两步完成:

第一步

每个二进制位取相反的值，即得到相反的码；0变成1，1变成0。例如，00001000的倒数是1110111。

第二步

将上一步获得的逆代码加1。1110111变成了1111000。所以，00001000的二进制补码是1111000。也就是说，-8在计算机(8位计算机)中用11111000表示。

不知道大家怎么看，我觉得很奇怪。为什么一定要用这么麻烦的方式表达负数？更直观的方式不好吗？

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二进制补码的优势

其实计算机用什么方式表示负数并不重要。只要能保持一一对应，负数可以用任何方式表示。所以，既然可以随意选择，就要选择舒适、直观、方便的方式。

二进制补码是最方便的方法。它的方便之处在于所有的加法运算都可以用同一个电路来完成。

以-8为例。假设有两种表示。

一种是直观表象，即10001000；另一种是二进制补码表示法，即11111000。另外哪种表示更方便？写任意一个公式，16+(-8) =？6的二进制表示是00010000，所以用直观表示，加法会写成:

00010000

+10001000原始代码格式-8

-

10011000

可以看到，如果按照正常的加法规则，会得到10011000的结果，换算成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数和负数的加法，所以必须制定两套运算规则，一套是正数加正数，一套是正数加负数。从电路角度来说，做加法需要做两种电路。所以不能用原码来表示负数。

现在，让我们看看二进制补码符号。

00010000

+1111000补码形式-8

-

100001000

可以看到，按照正常的加法规则，结果是100001000。注意，这是一个9位二进制数。我们已经假设这是一台8位机，所以最高的第9位是溢出位，会自动丢弃。所以结果变成00001000，十进制转换正好是8，是16+(-8)的正确答案。这说明二进制补码表示法可以将加法规则推广到整个整数集，从而可以用一组电路实现所有整数的加法。

二进制补码的本质是用来表示负整数的。

在回答二进制补码为什么能正确实现加法之前，我们先来看看它的本质，也就是二进制补码步骤的转换方法是怎么来的。下面介绍如何在计算机中求一个正数及其对应的负数的表达式。比如128，正数是10，000，000，但令人惊讶的是，-128也是10，000，000。但由于数据类型的限制，第八位也有不同的含义。第一个1是数字位，最后一个1是符号位。

要把一个正数变成对应的负数，其实只要把这个数从0减去就可以了。比如-8其实就是0-8。用模数的概念解释下图。

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8的已知二进制数是00001000，而-8可由下式求出:

00000000

-00001000

- - - -

因为00000000(被减数)小于0000100(被减数)，所以不足以减少。请回忆一下小学的算术。如果被减数的一位小于被减数，我们该怎么办？很简单。就问最后一个人借1。

所以0000000也是借了上一个的1，也就是说被减数其实是10000000，这是重点；该公式重写为:

100000000

-00001000

- - -

11111000

进一步观察发现可以拆分成10000000 = 1111111+1，所以上面的公式可以拆分成两个:

11111111

-00001000

-

1110111倒置

+00000001加1

-

11111000

二进制补码的两个转换步骤就是这样来的。

举个例子，比如-128的补数的由来，先用二进制表示正整数128，用1000000求-128的补数。

1 1 1 1 1 1 1 1

-1 0 0 0 0 0 0 0

-

0 1 1 1 1 1 1 1

+0 0 0 0 0 0 0 1

-

1 0 0 0 0 0 0 0

也就是-128的补码是1000000。8位结构能表示的最小数是-128；

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二进制加减乘除原理:https://blog.csdn.net/lyt _ angularjs/article/details/80613228

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作者:天时地利人和