e的lnx次方为什么等于x(e的lnx次方为什么等于1)

对数

简化计算

欧拉公式E (i π)+1 = 0被称为数学中最完美的公式，公式的五个元素E、π、I、1、0也被比作《神雕侠侣传奇:时间的灰烬》中的五大宗师《乞丐》。

鉴于超模君在后台经常被问到，为什么E和π经常出现在看似不相关的领域？e和π有什么联系吗？e π和π E谁更大？像这样的问题。

今天超模君就给大家一睹E和π的风采。

e的起源

说到e，不得不再次提到欧拉。他无处不在。他真是一个神奇的人。自然数e是基于

以莱昂哈德·欧拉(伦纳德·欧拉)命名，取欧拉的首字母“E”。

但是，事实上，第一个发现E的人不是欧拉，而是雅各布·伯努利。伯努利熟悉它吗？

在17、18世纪，伯努利家族是一个学术世家。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的兄弟，约翰·伯努利是欧拉的数学老师。

远的不说，我们回到e，要理解e，可以从生活中一个常见的例子说起，就是银行利率和收益的问题。

如果你在银行有一美元，银行同意付给你100%的年息。

那么，一年后，你手里的钱当然会增加到(1+100%)=2元；

现在银行同意把一年期年利率按照复利计算拆分成两个各50%的半年期利率，那么年底的钱就是:(1+50%)×(1+50%)=2.25元；

现在银行按季度计算复利，所以年底的钱是:(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)×(1+25%)= 2.44元；

我们可以看到，积分越细，总收入越多。如果我们继续细分这个复利计算过程，我们在年底得到的钱将是:

如果细分为小时和分钟呢？迭代运算后，可获得以下值:

可以发现，结算利率周期数n越大，年底拿到的钱越多，最后无限接近e值。

也就是说，一旦本金固定，银行的年利率(100%)就固定了。无论用多少期来结息，年底的钱都无限接近一个值(2.7183)。

E的本质含义是累积增长的极限。E是用高等数学的微积分形式写的，E的定义是:

π的起源

说到圆周率，很简单。它只是一个圆的周长与直径之比。

1748年首次提出圆周率，发表了欧拉的代表作《无穷小分析导论》。在这本书中，欧拉建议用符号“π”来表示圆周率，并在其中直接使用了π。在欧拉的积极倡导下，π成为了圆周率的代名词。

π的定义虽然简单，但是圆周率的计算已经经历了几千年，至今还没有走到尽头。

最新记录是今年。3月14日，谷歌宣布圆周率现在已经到了小数点后31.4万亿位。

圆周率的计算方法五花八门，甚至到了无奇不有的境界(超模君去年统计的算法门户)。

说到圆周率，还有一个人不得不提，那就是中国数学家祖冲之。

公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到精确到小数点后七位的结果，给出近似值3.145926，近似值3.45926。正确位数达到7位数，在当时是非常准确的，900多年来没有人打破这个记录。

祖冲之牛皮！

关于e和π的那些事

说完了e和π的由来，e π之间还有关系吗？

毕竟有时候会发生，带E的定积分里面有π，而三角函数的一些积分里面有E。

其实e和π本质上是没有关系的。

之所以说“含E的定积分中有π，而三角函数的某些积分中有E”，是因为与E有关的傅里叶展开函数，如e x或lnx，经过傅里叶展开后可以转化为一系列三角函数，只要选择合适的积分区间，π自然会出现。

此外，欧拉还巧妙地用一个公式将它们联系起来，这个公式就是非常著名的欧拉公式:e (i π)+1 = 0。这让很多人误以为e和π有一定的关系。

有些人会疑惑:为什么E和π经常出现在看似颇不相关的学科中？比如物理化学等学科。

那是因为涉及到微积分和指数对数，E和π都喜欢凑热闹。高斯曾经说过，数学是科学之王。王自然控制了这一切，数学控制了科学。

e π和π E哪个大？

说到e和π，我们逃不开e π和π E谁更大的问题。

超模君也准备了几种对比方法。最简单的方法当然是计算器。拿出你的科学计算器，输入E π和π E得到相应的值:

很明显，e π大于π E。

好了，今天就到这里。不要制造麻烦。超模君不会这么幼稚的。让我们向您展示一个稍微高一点的解决方案:

e的定义，你看这个名字，强行上来的，顾名思义，用e的定义来解决问题。

经过

得到

制造

规则

也就是

这个方法，好像有点复杂，不那么好理解。

为了让大家理解，我们来拿一个简单的构造函数的求导方法:

设置

衍生物

存在

因此，严格单调递减

有空的

这个方法稍微好理解一点。在比较e π和π E大小的方法中，对数导数法是最简单明了的计算方法。

18世纪，欧拉发现了指数和对数的倒数关系。在1770年出版的一本书中，欧拉首先用来定义

他指出:“对数源于指数”。

对数、解析几何和微积分被公认为17世纪数学的三大重要成就，许多科学家都给予了高度评价。

这里的对数导数法可见一斑。

先分别取对数。

设置

规则

也就是

乍一看，e π和π E的数值非常接近，但无法通过简单的加减乘除来比较大小。对数的出现让这一切变得简单。

本来我觉得e π和π E哪个大是个大问题。这不是很简单吗？有多难，超模君8岁的表妹都能比。比较e π和π E的大小是一个不到一分钟的小问题。