奇函数的性质(9个常见偶函数7个奇函数)

1.定义

通常，对于函数f(x)

(1)如果函数域中任意x有f (-x) =-f(x)，则函数f(x)称为奇函数。

(2)如果函数定义域内任意x有f(-x)=f(x)，则函数f(x)称为偶函数。

(3)如果f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)对函数定义域内的任意x同时成立，则函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为奇偶函数。

(4)如果f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)对函数定义域内的任意x都不成立，则函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故称为奇函数或偶函数。

说明:①奇和偶是函数的全局性质，对于整个定义域

②奇偶函数的定义域必须关于原点对称。如果函数的定义域不是关于原点对称的，那么这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(解析:判断函数的奇偶性，首先检查其定义域是否关于原点对称，然后严格按照奇偶的定义，与f(x)进行简化、整理和比较，得出结论)

③判断或证明函数是否有奇偶性的依据是定义。

2.奇偶函数图像的特征:

奇函数定理的像是关于原点的中心对称图形，偶函数的像是关于Y轴的轴对称图形。

F(x)是奇函数的“= =”。f (x)的像关于原点对称。

点(x，y)→(-x，-y)

当奇函数在某一区间内单调递增时，它在其对称区间内也单调递增。

如果一个偶函数在某个区间上单调递增，那么它在其对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1).两个偶函数之和是偶函数。

(2)两个奇函数之和是奇函数。

(3)一个偶函数和一个奇函数之和是非奇函数和非偶函数。

(4)两个偶函数相乘得到的乘积是偶函数。

(5)两个奇函数相乘得到的乘积是一个偶函数。

(6).一个偶函数乘以一个奇函数的乘积就是奇函数。

数学奇偶练习和答案分析

1.下列命题中，正确的命题是()

A.函数y=1x是一个奇函数，是定义域中的减函数。

B.函数y=x3(x-1)0是定义域中的奇函数和增函数。

C.函数y=x2是一个偶数函数，它是一个关于(-3，0)的减函数

D.函数y=ax2+c(ac≠0)是一个偶函数，它是(0，2)上的增函数

解析:选c，选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性；b、函数的定义域关于原点不对称；d，当a

2.奇函数f(x)在区间[3，7]中是增函数，在区间[3，6]中最大值是8，最小值是-1，那么2f(-6)+f(-3)的值是()

A.10 B.-10

C.-15天

解析:在[3，6]上选择C.f(x)为增函数，f(x)max=f(6)=8，f (x) min = f (3) =-1。∴ 2f (-6)+f (-3) =-2f(

3.f (x) = x3+1x的图像约为()

A.原点对称B.y轴对称

C.y=x对称D.y=-x对称

解析:选A.x≠0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)是奇函数，关于原点对称。

4.如果定义在区间[3-a，5]上的函数f(x)是奇函数，那么a = _ _ _ _ _ _ _。

解析:∫f(x)是[3-a，5]上的奇函数，

∴区间[3-a，5]关于原点对称，

∴3-a=-5,a=8.

答案:8

1.函数f(x)=x的奇偶性是()

A.奇数函数b .偶数函数

c既是奇函数又是偶函数，D是非奇非偶函数。

解析:选d .定义域为{x|x≥0}，关于原点不对称。

2.下列函数是偶数()

A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1x

C.f(x)=x2+x D.f(x)=|x|x2

分析:选D，只有D符合偶函数的定义。

3.设f(x)是R上的任意函数，则下列说法正确的是()

A.f(x)f(-x)是奇函数。

B.f(x)|f(-x)|是奇函数

C.f(x)-f(-x)是一个偶函数

D.f(x)+f(-x)是一个偶函数

解析:选d .设F(x)=f(x)f(-x)

那么F(-x)=F(x)就是一个偶函数。

设G(x)=f(x)|f(-x)|，

G(-x)=f(-x)|f(x)|。

∴g(x)和G(-x)之间的关系是不确定的。

设M(x)=f(x)-f(-x)，

∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)是奇函数。

设N(x)=f(x)+f(-x)，则N(-x)=f(-x)+f(x)。

N(x)是一个偶函数。

4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx()

A.这是个奇怪的函数

B.这是一个均匀的函数

c既是奇函数又是偶函数。

D.非奇数和非偶数函数

解析:选A.g(x)=x(ax2+bx+c)=xf(x)，g (-x) =-xf (-x) =-xf (x) =-g (x)，所以g(x)=ax3+bx2+cx是奇函数。因为g(x)-g(-x)=2ax3+2cx不一定等于0，所以认为g(-x)=g(x)不是偶函数。

5.奇函数y=f(x)(x∈R)的像必经过点()

A.(a，f(-a)) B.(-a，f(a))

C.(-a，-f(a)) D.(a，f(1a))

解析:选择c .∫f(x)为奇函数，

∴f(-a)=-f(a)，

即自变量为-a时，函数值为-f(a)，

因此，图像必须穿过点(-a，-f(a))。

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