如何自学微积分(零基础学微积分要多久)

说到微积分，你有什么印象？想必很多人会想到棘手的计算。甚至有人会想到这种情况——在学校考试中，仅仅因为计算稍有错误，就会被扣分，惨极了。

唉，这姑娘好像觉得解决微积分问题，套用背诵的公式就够了。这是那种典型的在学校考试中掌握了要领的人。

不过，至于如何治疗结石，还是有一类人喜欢上面的医生。虽然能算微积分更好，但是在学习微积分的初期，重点并不在计算上。

数学家擅长数学，所以也擅长计算吧？不，不一定要那样。令人惊讶的是，数学家不仅会犯许多简单的计算错误，而且在思维上也经常出错。

创立了组合拓扑的天才数学家亨利·庞加莱经常出错。据说连他的论文都有很多错误。

但是，庞加莱的思考方向本质上是正确的。只要你想的方向正确，哪怕是一点点小错误，对整体来说都不是致命的。在学校，之所以根据计算结果的正确性来决定考试成绩，是因为很难根据思路给出分数。

同样，本文的重点是“思维的要义”，我认为这是微积分的要义。微积分的精髓在于方法。简单来说，抓住了思维的“要领”，就能轻松理解复杂的公式。往正确的方向想，然后根据自己的需求去掌握计算技术就好了。

本文中几乎没有整数符号。你可能会担心没有积分符号能否真正理解相关内容。其实先接触微积分的本质内容，那么出现的公式和式子就会出乎意料地变得通俗易懂。

积分的存在意义

积分应用基础

小学学的图形面积和体积的计算，其实是和积分世界联系在一起的。积分的出现是因为人类需要掌握那些看得见的东西，比如计算物体的面积和体积。

小学教育中的图形计算通常只针对矩形、圆形等表现良好的图形。现实中，这些知识往往很难直接应用。

这是因为现实世界中存在的物质并不都是学校里学到的规则的形状。相反，那些规则的形状可以说是例外或理想化的情况。因此，对于人类来说，需要测量现实中各种复杂图形的大小。

日本小学的家政课教授乌冬面、薯片等简单菜肴的烹饪方法。学校之所以专门教这些内容，是因为这些是烹饪中的基本方法。其实我们自己做饭的时候，经常会在店铺里买成品的乌冬面，基本不会经常做土豆块。然而，如果你掌握了这些基本的烹饪方法，你就可以烹饪更复杂的菜肴。比如乌冬面的烹饪方法可以应用到面包、披萨或者意大利面上，从土豆块中学到的方法可以扩展到土豆沙拉或者炸糕上。

如果把小学里的长方形和圆形知识比作乌冬面和土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用菜。得益于积分法，人类可以计算各种图形的面积和体积。利用积分，再奇怪的形状也能努力算出结果，真的是很大的进步。

把思维运用到实践中，用自己的力量去推导面积和体积，这就是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。

所有的图形都用长方形连接。

图形有很多种，其中面积计算最简单的是“矩形”。

说到这，大家还记得小学初学者计算面积的场景吗？在图形面积的计算中，三角形、平行四边形、梯形、圆形等。都放在长方形里学习。一个长方形的面积只需要“长x宽”就可以算出来，可以说是最简单最简单的图形了。对了，在数学界，正方形被视为“一种特殊的矩形”。

掌握了矩形面积的计算方法后，就可以应用到三角形面积的计算中了。反过来，如果你不知道如何计算矩形的面积，你就无法计算三角形的面积。

这是因为三角形的面积可以看作是“三角形的一边是边长，边高是矩形另一边面积的一半”。根据图2，三角形的面积正好是相应矩形面积的一半，也就是说“三角形的面积=底x高÷2”。

平行四边形呢？平行四边形可以看作是两个三角形的组合，这两个三角形的底边是平行四边形的边。

梯形呢？梯形可以看作是平行四边形的一半。如图4所示，两个相同的梯形并排组合成一个平行四边形。所以梯形的面积也是在矩形的基础上计算的，就是“(上底+下底)×高÷2”。

从三角形到平行四边形，再到梯形，这三个图形虽然看起来没有直接联系，但它们的面积公式都是在矩形面积的基础上推导出来的。

总和变成整数。

在计算圆的面积时，小学用的方法是用一个“正方形”来划分圆的内侧空。这样做的原因其实很简单，就是方纸的正方形就是正方形。

求圆的面积，要点是把圆细分。即划分的形状不应局限于正方形。因此，我们可以将圆分成“细长条”来求面积。比如图8，我们试着把圆分成细长条，也就是长方形的组合。

即便如此，既然说的是符号，那就从现在开始尽量用整数符号吧。公式也会出现在这里，但内容与刚才的解释完全一致，请大家轻松读下去。就像业内人士用行业术语说话一样，用数学符号来解释数学，同样的内容在表达上会显得很优雅。

在图9中，我们将圆切割成非常窄的长条。水平方向是x轴。此时，圆的切割方向正好垂直于X轴。

在此基础上，我们选取宽度为δx的一小段，δ是希腊字母，读作“Delta”(δ)，常用作“差”的符号，表示一个很小的数值。

现在，让我们用一个公式来表示这个短长条的面积。

短条的面积= x值对应的短条长度× δ x

如果你问为什么要计算短条的面积，那是因为我们要从这里计算圆的面积。把这些细条的面积加起来，就得到圆的面积。具体来说，就是把所有的短条从左端加到右端。

这里，我们逐渐将短条的宽度减小到不能再减小的程度。这样，短条看起来更像一条“线”，而不是长方形。无数条“线”加起来，结果逐渐逼近“圆的面积”。如果使用整数符号，可以用以下形式书写。

在公式中，垂直拉伸字母S的符号声音与积分相同。Integral原意是“和”，所以integral符号也取自拉丁语单词“和”Summa的第一个字母S。它是由一位名叫莱布尼茨的数学家(也是哲学家)提出的。

这里，我想补充一点点Delta (δ)和d。

和δ d，两者都源于“不同”。两者的区别在于，δ是“近似值”，而英文小写字母D是“精确值”。

“精确值”是什么意思？比如圆周率，3.14是它的近似值，无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279是它的“精确值”。近似值在某些情况下肯定是不正确的，而精确值在任何情况下都是正确的。

所以，我们可以这样理解dx:“把原来由短条宽δ x计算出的值作为趋于0的‘精确值’。”

综上所述，Delta (δ)和英文小写字母D分别用于以下几种情况。

delta(δ)-当有宽度时(宽度大于0)。

英文小写字母D-当宽度趋于0时，计算极限值。

另外，虽然微积分中会出现各种公式和符号，但是初学者一开始不懂这些东西也没关系，δ和d也是一样。

感觉和逻辑

中考加分

我们来思考两个方面:“有效划分图形的方法”和“整数符号的使用方法”。为了解释方便，我选取了初中的考题，尝试用积分法来回答。

接下来，我们将接触旋转体。旋转体的体积必然会出现在日本的高中课本中，而简单的旋转体题，比如下面的问题，则经常出现在初中联考中。

如图，有一个半径为2 cm的圆板，在距离圆板中心4 cm处有一个垂直轴。让圆板以竖轴为轴旋转一周，计算此时形成的图形的体积。

题目来自日本东海大学附属高伦泰大学二级系2007年入学考试试题，内容表述有部分修改。

这个问题怎么回答？

一个盘子绕轴旋转一周会变成什么样的图形？

如图43所示，圆板变成了这个甜甜圈形状。这个甜甜圈的形状在数学上叫做甜甜圈。

为了计算圆环体的体积，我们来寻找最简单的“积分”方法。什么样的方法最有效？

如图44所示，我们可以考虑水平切割圆环。

如图45所示，通过切割圆环获得的横截面就好像从大圆切割出同心的小圆一样。如果想求截面积，只需要知道大圆和小圆的半径。计算方法与计算碗的横截面积时相同。

难点在于如何计算圆的半径。

让我们试着把自己的想法画进题目给出的画面里。以旋转轴为X轴，用字母标记每个点(图46)。

取x轴上的h点。因此，对于图45横截面中的两个圆，大圆的半径为AH，小圆的半径为BH。

其实我们思考的重点就在于“以H的高度切割圆环体”。从这个角度出发，我们可以发现我们可以利用勾股定理。

然后，设A点和B点的中点为m，此时根据勾股定理，AM(BM)的长度为根号下4 x2。即大圆的半径AH为

小圆的半径BH为

具体计算过程在此省略。

圆环体的体积可以看作是从下表面(x=2)到上表面(x = 2)范围内厚度为δx的许多横截面积(薄片)的组合(横截面积之和)。使用整数符号，它可以表示如下:

这样，我们就可以计算出圆环体的体积。

我们来思考一下这个公式的“有意义的部分”。从整体结构来看，16π可以最后相乘，可以不去管它。首先要问的是

但是，这个方法不容易想到。所以，现阶段你不必太在意，继续读下去就好。

也就是说，这个积分公式的答案等于图48中半圆的面积。即

然后乘以刚才跳过的16π，可以得到圆环体的体积如下

圆环面看起来像是两个圆相乘形成的图形，在它的体积计算中看到π的二次方真的很有趣。在数学上，环面被定义为“圆与圆的笛卡儿积(准确地说，是圆与圆周的笛卡儿积)”。说圆环体是一个图形乘以两个圆，可以描述为仅仅是文字的意思——不，仅仅是数字的意思。

像小学生一样求圆环体的体积。

上面提到的解决方案可以说是成人解决方案。但这种方法对于连勾股定理和积分符号都不懂的小学生来说，很难解释清楚。

而不是之前的方法，怎么分？适合小学生讲解的方法是“分成细方块求圆的面积”。但是，一个一个地数方块的数目会花费相当多的时间，所以我们尝试一种新的方法。

为了换个思路，这里我先介绍一下“把圆分成扇形求其面积的方法”。我们的目标是求圆环体的体积，但这个目标可以用类似于“把圆分成扇区求圆的面积的方法”的思路来实现。圆环体是一个立体图形，很难把它想象成一个整体，但如果它是圆的，就很容易形象化。

如图49，把圆分成小扇形，然后让扇形上下互相交叉。由此，我们得到一个“平行四边形”。

当然扇形弧是弯曲的，所以形成的平行四边形有些弯曲。但是，如果我们逐渐分成更小的扇区，我们几乎看不到弯曲的弧线，最后我们几乎可以把弧线看作直线段。通过无限划分更小的扇区，平行四边形的精度会大大提高。此时平行四边形的高度会正好等于圆的半径，底边等于圆的半周长(π×半径)。即平行四边形的面积约等于“π×半径×半径”。所以圆的面积等于“半径×半径× π”。

以上是推导圆面积公式的“小学生式”方法。

把甜甜圈变成蛇的方法

结合推导圆面积的“瞳孔式”方法，我们开始研究圆环体的体积。还是用同样的思路想办法分割圆环体。这次我们不会横向分裂。让我们尝试垂直分割(图50)。

将圆环体垂直分割后，横截面只是一个小圆。

为了进一步研究横截面圆，我们先把它分成8等份。然后，在圆分割后，利用扇形交错排列技术将圆体交错排列。

这样，圆环体将被重建成蛇形。

这里用的型号是奔驰Donalds的白巧克力米粉甜甜圈。如果不需要甜甜圈，可以用百吉饼。将甜甜圈分成8等份，如图53所示。

交错排列的甜甜圈会形成下图(图54)。

你可以看到，重新排列的甜甜圈确实变成了蛇形的立体图形。

这里，我们把甜甜圈分成8等份。如果再细分一些，比如100等份，200等份，蛇形的立体图形会更接近圆柱形(倒圆柱形)。

即如图51所示，圆柱体的底面是半径为2的圆，而高度是半径为4的圆的周长(圆心绕垂直轴旋转一周的轨迹长度)，即8π。

所以我们求的圆环体的体积换算成底面为π× 2，高为8π的圆柱体(图55)的体积，就是

圆周率可近似等于3.14，代入3.14，可得圆环体的体积为315.507 2cm。

对了，我们来求一下白巧克力米粉甜甜圈的体积。甜甜圈截面圆的半径为1.5厘米，甜甜圈的直径为8厘米。

即图51中粗线的圆的半径为8÷2-1.5=2.5 cm。因此，甜甜圈的体积等于一个底面积为π× 1.5，高为2π×2.5厘米的圆柱体的体积，即

这大致相当于一个棱柱长度为4.8厘米的立方体的体积。

帕普斯-古尔丁定理

在日本中学的入学考试中，有一个求旋转体体积的“秘技”——帕普斯-古尔丁定理。

让我们用这个定理来计算旋转体的体积。

在正面圆环体中，“旋转平面图形”是一个半径为2的圆，面积为2×2×π=4π。

然后就是“旋转面重心经过的距离”。这个问题中的“重心”可以理解为“旋转体的中心”。重心经过的距离等于圆柱体的高度，所以是4×π×2=8π。

将这些数据代入帕普斯-古尔丁定理，可以得到旋转体的体积为4π× 8π = 32π。

很多聪明的小学生都知道这个“秘技”，在实际考试中肯定有一些考生在使用这个定理。但是，要解释这个计算原理真的不是一件容易的事情，你也看到了。

通过将圆环体转化为圆柱体，我们可以从这个过程中看出积分的要领。

实际上，圆环体的“表面积”也可以用同样的方法计算。

在图55中，可以确认圆环的表面积等于底面半径为2、高度为8π的圆柱体的侧面面积。因此，半径为2的圆的周长为2×2×π=4π，乘以8π，圆环面的表面积等于32 π。对了，这里的表面积和体积相等(都是32π)只是偶然。

另外，利用将圆环变形为圆柱的方法，可以很容易地推导出圆环的体积和表面积的公式。

如图56，取R and R (R > R)，使其绕轴旋转，形成一个圆环体。如果将半径为R的灰色圆板称为小圆，则圆环体的体积和表面积的公式如下:

体积=小圆面积(π r) ×小圆心距离(2π r) = 2π rr

表面积=小圆的周长(2πr)×小圆中心的距离(2π r) = 4π rr

这种表面积的计算方法只要你懂了就会很简单，但是如果用其他的计算方法就会比较麻烦，而且需要用到大学水平的多重积分的积分知识。分割法，让整合变得容易但困难。

另一方面，那些看似复杂困难的问题，只需要划分就可以转化成小学生能解决的问题。

在积分的应用中，数值计算通常由计算机处理。实际上，具体的积分公式编写和计算的情况非常少。计算机计算积分题除了技术操作外，其实就是“计算所有分割面积(或长度、体积)之和”。

积分说到底可以说是“除以部分之和”的计算，没有其他特别的内容。一旦能写出积分公式，数值计算就很简单了。

用积分的公式表达各种量，是我们需要掌握的必备能力。

——本文选自《简单微积分:学校没教过的超简单入门技巧》

该书以微积分的“思维方法”为核心，用生活实例讲解微积分的基本原理、公式推导和实际应用意义，解答微积分初学者遇到的常见困惑。没有繁琐的计算和干巴巴的理论。是一本只需“浅阅读”就能理解微积分原理的入门书。

第一章什么是积分？

积分存在的意义

两个思维实验

切口的秘密

感觉和逻辑

第二章什么是差异化？

差异存在的意义

丰富多彩的函数世界

有预谋地使用差异

第三章探讨微积分的可能性。

八百年后的真相

填补漏洞

弯曲没问题。

微积分的真身

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