63是质数吗(63的因数有)

作者|民间数学家

来源|民间的职业数学家

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一个

据说很多学生在数学课上非常害怕数学证明，甚至毕业后，数学证明仍然是很多人关于数学的痛苦记忆。

“民间的职业数学家”微信官方账号决定开设专栏:

【人人都能欣赏的数学证明】

希望专栏文章能扭转大家对数学证明的错误印象。数学证明并不可怕，但在数学家眼中，真正的数学证明就像一首象征性的诗，一场逻辑推理的乐章。

从数学普及的角度来看，仅仅普及一些数学定理和结论是远远不够的。如果不知道相关的数学证明，只会“知其然，不知其所以然”。另外，数学的普及仅限于理工科背景的中学生、数学教师和数学爱好者是远远不够的。如何让更广大的公众充分理解崇高抽象的数学证明，对我们来说是一个巨大的挑战。

据说白居易写诗只是为了“老太婆能看懂”，他的诗必须修改，直到连不识字的老太婆也能看懂。同样，在我们的专栏正式发表之前，我们也会请一些小学生和没有数学背景的人来发表意见，修改，直到他们能看懂为止！我们努力实现:

每个人都可以阅读本专栏中的数学证明，

大家可以欣赏一下本专栏的数学证明！

2

今天我们要介绍的是古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右写于《几何原本》中的一个古老定理(欧几里德定理)及其证明，距今已有2000多年的历史。

在介绍这个古老的定理及其证明之前，我们需要耐心了解一些简单的背景知识。这可能需要你花费一点时间和精力，但我保证这是值得的，尤其是当你完全理解了这个定理及其证明并钦佩它的时候。

我把这些背景知识分成六篇，熟悉这些知识的读者可以直接跳到后面看。

1.自然数，也称为正整数，指1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12...

二、质数也称素数，是指大于1且不能分解成两个正整数的较小乘积的正整数。

比如:1不是质数。2，3，5，7，11，13，17，19，23，29和31都是质数。然而，4、6、8、15、21和24不是质数，因为:

4=2×2;6=2×3;8=2×4;

15=3×5;21=3×7;24=3×8。

三、倍数:我们把正整数A和任意整数的乘积称为A的倍数，所以下面的数都是正整数A的倍数。

……-3a，-2a，-a，0，a，2a，3a，4a……

比如0、5、10和-15都是5的倍数；-7，7，14，21都是7的倍数；3、26和39都是13的倍数。但是11不是5的倍数；20不是7的倍数；18不是4的倍数。

4.如果正整数B和C都是A的倍数，那么b+c和b-c也是A的倍数。

由于b和c都是a的倍数，所以可以写成b=ma，c=na，其中m和n都是整数。根据乘法和分配定律

b+ c = ma+na =(m+n)a；

b-c=ma-na=(m-n)a .

所以b+c和b-c都是a的倍数。

5.每一个大于1的正整数，如果不是质数，就必须分解成质数的乘积。

这个知识点不难理解，因为根据素数的定义，一个大于1的正整数，如果不是素数，肯定可以分解成两个更小的正整数的乘积。如果这两个数不都是质数，可以继续分解，直到所有因子都是质数。例如:

12=4×3=2×2×3;

63=9×7=3×3×7;

105=3×35=3×5×7;

108=4×27=2×2×3×9=2×2×3×3×3。

六，每一个大于1的正整数n一定是某个质数q的倍数。

如果这个正整数n本身是一个质数，它当然是自身的倍数。如果n不是质数，根据第五个知识点，它可以分解成质数的乘积，那么它也一定是某个质数q的倍数。

如果你完全理解了以上六个知识点，那么恭喜你，你已经做好了充分的准备，可以开始和我们一起品味一个漂亮的数学证明了。

三

上面第五个知识点告诉我们，所有大于1的整数，即使不是质数，也可以分解成质数的乘积，所以可以说质数是整数大厦的基石和砖块。所以要理解整数，首先要理解质数。接下来，这个古老的定理将会出现:

(欧几里德定理)素数的个数是无限的。

你怎么解释有无穷多个素数？最直接的方法是不断疯狂地寻找更多的质数:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,37,41,43,47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 ,89, 97 ,101, 103 ,107,109 ,113………

当你找到许多质数时，你可能会跑过来对我说:

“看！我一直在寻找新的素数，所以一定有无穷多个素数。”

这个理由可以让很多人相信确实有无穷多个素数。

但是，这是数学证明吗？

不要！

即使你发现天塌下来，海枯石烂，100000000000000000000000000000000000000个质数，它也不能代替真正的数学证明！

因为在有限的时间内，无论你用什么方法，都只能找到有限的几个素数！

好了，别哭了，站起来！是时候告别过去的思维方式了。让我们一起走进真正的数学证明！

四

既然在有限的时间里只能找到有限的几个质数，那我们就要走另一条完全不同的路了！

让我们假设这个定理是

错，错，错，错，错，错

证明:假设素数的个数有限。

然后我们就可以按照从小到大的顺序完整地列出仅有的有限素数，一个都不漏:

第2、3、5、7、11、13、17页

这里p代表最后一个质数。

(这里可能有人会抗议:证明中的有限素数可能很多，可能是几百亿，几万亿，几十亿。为什么可以写成一行？这恰恰体现了数学符号的力量。一个省略号可以代表几亿美元，一个小P也可以代表一个天文数字。)

让我们把所有这些唯一的质数相乘，然后在这个乘积上加1，

(为什么要加1？这恰恰是整个证明过程中最微妙的部分，后面你会看到)

你会得到一个大的正整数n。

n = 2×3×5×7×11×13×17×…×p+1

(回想一下第六个知识点:每一个大于1的正整数N一定是质数q的倍数)

根据第六个知识点，n必须是一个质数Q的倍数。然而，这个质数Q必须落在我们列出的仅有的有限的质数中，所以上面的乘积2× 3× 5× 7× 11× 13× 17根据

(回想一下第四个知识点:如果正整数B和C都是A的倍数，那么b+c和b-c也是A的倍数。)

因为n和2× 3× 5× 7× 11× 13× 17

1 = n-2×3×5×7×11×13×17×…×p

它也必须是质数q的倍数。

但是，注意1不能是质数q的倍数。

(这就是为什么我们将N作为2× 3× 5× 7× 11× 13× 17的乘积

这样就得到了矛盾，所以前面的假设不成立，素数的个数是无限的。

示威游行

如果你已经读到这里，完全理解了上面的内容，那么恭喜你，你已经打开了一扇数学之门。

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