有朋友说看不懂我的视频。为什么总觉得答案只有一个？学习概率论，逃离思维的陷阱！现在想补充一点，希望能帮助到更多的朋友。这个视频讲的是概率中著名的“伯特兰悖论”。
有朋友说看不懂我的视频。
为什么总觉得答案只有一个？学习概率论，逃离思维的陷阱！
现在想补充一点，希望能帮助到更多的朋友。这个视频讲的是概率中著名的“伯特兰悖论”。是19世纪末法国数学家、经济学家伯特兰提出的一个概率问题:
圆的弦长大于其内接正三角形的边长的概率是多少？
贝特朗悖论伯特兰悖论
有三种经典的解决方案。
首先，让绳子的一端是一个内接正三角形的顶点。所以，只有当弦的另一端落在对面对应的1/3圆上，其长度大于边长，那么概率是三分之一。
第二，解决方法是使直径垂直于弦。只有当弦的直径穿过中间一半时，它的长度大于边长，所以概率是二分之一。
第三，考虑弦的中点。只有中点落在半径减半的同心圆内的弦的长度大于其边长，所以概率是四分之一。
三个解产生三种不同的概率，我们当然会认为其中至少有两个是错的。因为中学概率就是所谓的经典模型，对于掷骰子这种简单的问题有效，但是对于和无穷有关的问题往往失效。伯特兰悖论恰好是其失败的一个著名例子。
以上三种对伯特兰悖论的解答，实际上是为“弦”这个概念建立了三种不同的概率模型，所以得出三种不同的答案也就不足为奇了。三个模型都能自圆其说，所以都是合理的数学模型，所以三个答案都是对伯特兰悖论的合理解释。
2014年，意大利数学家耶茨和比安奇证明了任意一个数P在闭区间[0，1]内都存在合理的数学模型，这样贝特朗悖论的答案就是P！
这是什么意思？
P=0，那么“几乎所有弦的长度都小于正三角形的边长”！
P=1，那么“几乎所有弦的长度都大于正三角形的边长”！
伯特兰悖论说明概率论本身只是一个数学模型，离真相还很远！
需要提醒的是，国内很多责任心不强的低水平期刊发表了很多所谓的伯特兰悖论论文，其论证方法和结论很容易让大中学生误入歧途，朋友们一定要警惕。
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