矩阵点乘和叉乘的区别(矩阵叉乘运算法则)

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在《真实与真理》|能量与能量转换的机械能(一)中，据说牛顿(1643—1727)和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646—1716)首先发明了微积分，并因此引入了变化的概念，为研究机械运动的力学和机械能奠定了基础。接下来是欧拉和拉格朗日。欧拉(莱昂哈德·欧拉，1707-1783)在数学方面是高超的，这将在一篇专门的文章中介绍。

约瑟夫·拉格朗日(1736—1813)出生于意大利都灵。他的祖父是法国骑兵军官，所以他一直认为自己是法国人。当他18岁时，他写了他的第一篇数学论文。文章发表后，他发现莱布尼茨已经解决了文章中提到的问题。惭愧之余，他更加努力，很快就取得了成绩。19岁时，他被任命为都灵炮兵学校教授。在接下来的十年里，他发表了一系列重要的文章，他的名声逐渐传播开来。1766年，30岁的他接替欧拉成为柏林数学研究所所长，并在那里工作了20年。1787年，他调到巴黎，为法国科学院工作。法国大革命爆发于1793年。因为他是意大利人，而意大利是敌国，他差点被关进监狱。多亏了现代化学之父拉瓦锡(1743-1794)，他才得以幸免。但过了一段时间，拉瓦锡就成了砍头鬼。拿破仑(1769-1821)在1799年上台后，提名了包括拉格朗日在内的几位著名科学家为上议院议员，后来封他为伯爵(图1)。1813年，他被授予帝国大十字勋章。不幸的是，此时拉格朗日病重，不久就去世了。在他的葬礼上，上议院议长、著名数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(1749-1827)致了悼词。

拉格朗日在数学、力学和天文学方面都做出了巨大的贡献。但是他在数学方面做出了最大的贡献。比如他证明了一个2000年前古希腊人遗留下来的问题:任何整数都可以表示为四个数的平方和，比如5 = 2+1+0+0，21 = 4+2+1+0，127 = 11+2+1+1，…。证明是精致的，简洁的，令人窒息的。

拉格朗日数学用于研究力学和天文学。1786年，他出版了他著名的力学著作《力学分析》(法文:Mé canique Analytic)。在书的序言中，他自豪地说，他用的是分析方法，书中没有一张图。与牛顿的直接求导法不同，拉格朗日的力学方法不使用力的概念，而是直接基于动能和势能的相互作用。他首先定义了一个拉格朗日算子(称为拉格朗日算子):

然后他说机械系统会达到平衡，这样就可以推导出拉格朗日-欧拉方程:

如上所述，在动能中，势能。前者与位置无关，后者与速度无关。代入上式即可得到。

在这个方程中，加速度在左边，重力在右边。这正是牛顿第二定律:。拉格朗日也给出了一套求解机械运动的方法:

定义好合适的坐标系；写下拉格朗日算子；用拉格朗日方程推出运动方程；求解运动方程。

这个方法很好用，很多看起来太复杂，用牛顿法解决不了的问题，变得出奇的简单。是解决机械运动的利器。

拉格朗日还解决了上述三个物体的运动问题(即太阳、地球和月球在各自引力相互作用下的运动问题)，并与欧拉分享了解决这个问题的奖金。在地球绕着太阳转的系统中，欧拉找到了三个平衡点:、、、、太阳的引力和地球的引力正好互相抵消到零。

拉格朗日又发现了两点。今天，这些点被称为拉格朗日点(图2)。

由于重力为零，在这些点上移动非常容易。2015年，美国宇航局发射了一颗卫星“深空气候观测站。DSCOVR”来观测太阳气候。这颗卫星位于L，每天给我们发送太阳上的天气情况。其他几个拉格朗日点离地球太远，还不能使用。

实际上，拉格朗日最著名的是他的拉格朗日最优化方法。该方法是人工智能计算的基础之一。

一个物体的运动和能量是看得见摸得着的，是可以通过实验来验证的。同时，实验会提出新的问题，促进理论的发展。理论和实验的结合推翻了形而上学的思想统治，从而极大地推进了人类文明。今天，我们将经常做实验来检验我们的理论。

广东科学中心的实验发现厅里有很多实验装置。有一个动量转盘(图3)。放一个小圆碟在上面，碟子会随之旋转。也许人们不知道这里的知识:转盘逆时针旋转，上面的小圆盘顺时针旋转。这是为什么呢？我们可以“问问”科里奥利。

古斯塔夫·科里奥利(1792-1843)出生于巴黎，他的父亲是一名军官。科里奥利从小学习就很出色。1808年考入著名的法国工学院(科尔理工学院)。毕业后，我在工业界工作了几年。1816年，他被他的老师——著名数学家奥古斯丁·路易斯·柯西(1789-1857)推荐，回到工学院任教。1829年，他和两位同事一起提出了“功”的概念:功等于力乘以力作用的距离。1835年，他提出了科里奥利力。他证明了运动的叠加会产生附加力(科里奥利力)。如图4所示，当黑球从一个旋转的圆盘中心向外运动时，如果圆盘逆时针旋转，原来是直线运动的球就会顺时针旋转。

科里奥利力无处不在。比如，因为地球自西向东逆时针旋转，所以北半球的气流会顺时针旋转，而南半球的气流会逆时针旋转。所以广东经常刮东南风，东南海给广东带来雨水。加州也吹东南风，但是东南部的沙漠给加州带来了干旱。这两个地方的气候完全不同。图4显示了地球季风的趋势，它受科里奥利力的影响，对全球气候非常重要。

我们周围也有科里奥利力。读者可以看看家里的厕所。冲水时，水流是顺时针方向的。如果到达南半球，会逆时针旋转。

我们把福柯在《院士论》一文中介绍的钟摆放在广东科学中心。让·伯纳德·莱昂·福柯(1819—1868)和科里奥利同时生活在巴黎，但他们彼此并不认识。科里奥利从小体弱多病，51岁去世。富科比小27岁，所以我不认识他。傅科摆的运动方程可以用科里奥利力求解。

汉密尔顿还对力学理论做出了杰出贡献。爱尔兰学者威廉·罗恩·汉密尔顿(1805-1865)出身于中产阶级家庭。他的父亲没有受过正规教育，但他自学成为一名律师，开了一家律师事务所，忙于工作。汉密尔顿的童年教育主要依靠他的母亲和一个当牧师的叔叔。他学习成绩很好。17岁时，他发现了拉普拉斯书中的一个错误，获得了大学老师的称赞。汉密尔顿在19岁时遇到了凯瑟琳·迪斯尼。他们一见钟情，深深相爱。汉密尔顿为凯瑟琳写了无数首情诗。然而，汉密尔顿当时还只是一名大学生。凯瑟琳的母亲强迫凯瑟琳嫁给另一个男人。两人都伤心欲绝，汉密尔顿病重。三年后，汉密尔顿以优异的成绩毕业，在老师的推荐下，荣任爱尔兰皇家天文学家和天文台台长。这在年轻的爱尔兰学者中是独一无二的。汉密尔顿在爱情中遭受挫折，所以他认为真爱是罕见的。既然凯瑟琳不在，其他女人也没什么不同。第二年，他与天文台的邻居海伦·玛丽亚·贝利结婚。他们有两个儿子和一个女儿。海伦的父母生病了，经常不得不回家照顾他们。孩子们给汉密尔顿的生活增添了许多乐趣。1848年，他偶然遇见了凯瑟琳。虽然十几年过去了，两个人都成了家，有了孩子，但还是忍不住传书，互相诉苦。几个月后，凯瑟琳觉得难以忍受，向丈夫告白，搬回了老家。汉密尔顿很沮丧。一方面，他努力工作，另一方面，他开始酗酒。1853年，凯瑟琳病重，希望再次见到汉密尔顿。汉密尔顿立刻去了，并交付了他的第一本书。凯瑟琳两周后去世。从那以后，汉密尔顿变得更加消沉，工作也大不如前。他在第二本书完成前就去世了。这本书最终由他的儿子编辑出版。

哈密尔顿的力学方法类似于拉格朗日的力学方法，但更全面更复杂。哈密顿算符(称为哈密顿量)是:

如上所述，T是动能，V是势能。这和拉格朗日算子只有一个符号上的区别，但意义完全不同。它描述了系统的能量守恒定律，因此不仅可以用于机械系统，也可以用于电子系统、量子力学系统等。

汉密尔顿最大的贡献是矩阵运算。为了解决高维空中的运动问题，他想把2维复数推广到高维空。他苦思多年。每天早上，他的孩子总是开玩笑地问他有没有解决。他承认自己只会做加减法，不会做乘除法。一天，他和妻子海伦去参加一个会议。走在路上时，海伦说这说那，但他什么也没听见。走到一座石桥时，他突然停下来，捡起一块石头，在桥栏杆上写下了著名的四元数基本方程:

这座桥叫做扫帚桥(图6)。今天，桥上有一座由爱尔兰皇家学会竖立的纪念碑。四元数法可以用矩阵表示。哈密尔顿定义了矩阵的点乘和叉乘。

汉密尔顿有一句名言:“阿基米德和马塞卢斯(公元前270-208年，征服西西里并杀死阿基米德的罗马将军)，谁愿意做马塞拉斯而不是阿基米德(谁不会有阿基米德比他的征服者马塞卢斯的名气)？”抢地确实辉煌一时，但怎么比得上为人类发现知识、了解世界、改变世界的科学家。

在20世纪，力学逐渐细分成几个分支，包括:

经典力学（classic mechanics）；运动学（kinematics），研究机械系统的远动；动力学（dynamics），研究机械系统的振动、控制等问题；结构力学（structural mechanics），研究各种工程结构（如大楼、水坝等）的受力；材料力学（material mechanics），研究各种工程材料（如复合材料）的受力；流体力学（fluid mechanics），研究流体（包括空气、水等等）的运动问题；量子力学（quantum mechanics），研究粒子的运动；等等。

这些学科塑造了我们今天的生活。比如流体力学是飞机设计的基础。流体力学研究飞机起飞时的升力。稍有偏差，飞机就可能飞不起来。

有学者列举了对流体力学有重大贡献的里程碑式人物(图7)。牛顿、欧拉、拉普拉斯、拉格朗日当然榜上有名。中国学者周培源(1902-1993)也在其中。周培源教授是加州理工学院的第一位中国博士，他曾任北京大学校长。他专门研究边界对湍流的影响，对流体力学理论做出了重要贡献。

20世纪60年代，随着计算机技术的发展，力学研究有了新的工具:有限元分析。有限元分析技术最早是由美国学者提出的。接着，美国国家航空航天局(NASA)组织开发了有限元分析软件NASTRAN(NASA Structural Analysis)，为其推广应用奠定了基础。我在美国学习和工作时(1980-90年代)使用过这个免费软件。

2008年，NASA规定所有的力学问题都要通过有限元分析来验证。因此，有限元分析已成为工程标准。

图9示出了通过有限元方法分析的鱼游泳的流体动力状态。如果拉格朗日看到这样的结果，他可能会相当惊讶。