请问数学上的e取值大概是多少(数学e是怎么算出来的)

奇妙的自然常数e

自然常数e是一个奇妙的数字。在这里，e不仅仅代表一个字母，也是数学中的一个无理常数，大约等于2 . 500000000001 . 500001

但是你有没有想过这是怎么发生的？一个无理数为什么叫“自然常数”？

说到E，我们自然会想到另一个无理常数π。通过下图中内接和外切多边形的边长近似值，可以形象地理解π的含义。

(来源:betterexplained)

假设圆的直径为1，其外切多边形和内接多边形的周长可以构成π的估计值的上下限。内接多边形和外接多边形的边越多，范围就越窄。只要有足够多的边，范围的上下限就会更接近π。

如果π的计算很直观，那么E呢？所以这里也用了一个图解的方法来直观的理解e。

首先我们要知道，代表自然基数的符号E是由瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉(leonard Euler)命名的，取的是Euler的第一个字母“E”。

莱昂哈德·欧拉(1707-1783年)

(来源:维基百科)

但事实上，第一个发现这个常数的人不是欧拉本人，而是雅各布·伯努利。

伯努利家族

伯努利家族是十八世纪瑞士著名的家族，其中不乏著名的数学科学家。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的兄弟，而约翰·伯努利是欧拉的数学老师。简而言之，老板们有着千丝万缕的联系。

理解E的由来，最直观的方法之一就是引入一个经济学名称“复利”。

复利率法（英文：compound interest），是一种计算利息的方法。按照这种方法，利息除了会根据本金计算外，新得到的利息同样可以生息，因此俗称“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利”。只要计算利息的周期越密，财富增长越快，而随着年期越长，复利效应亦会越为明显。—— 维基百科

在介绍复利模型之前，先试着看看更基本的指数增长模型。

我们知道，大多数细菌都是通过二分分裂繁殖的，假设某一种细菌每天会分裂一次，即一个生长周期为一天，如下图所示，这意味着每天细菌总数是前一天的两倍。

显然，如果除以x天(或x个生长周期)，就相当于翻了x倍。在第X天，细菌总数将是最初数量的2倍。如果初始细菌数为1，则X天后的细菌数为2x:

如果初始数量为K，则X天后的细菌数量为K.2x:

所以只要保证所有细菌每天分裂一次，不管初始数是多少，最终数都是初始数的2x。所以也可以写成:

上式的意思是:第x天，细菌总数是初始细菌数的q倍。

如果把“拆分”或“翻倍”换成更文艺的说法，也可以说是“增长率100%”。那么我们可以把上面的公式写成:

当增长率不是100%，而是50%，25%之类的时候，你只需要把上面公式的100%改成你想要的增长率。这样，就可以得到一个更普遍的公式:

这个公式的数学内涵是:一个生长周期内的增长率为R，经过X个周期的生长，总量将是初始量的Q倍。

以上是指数增长的一个简单例子。让我们来看看雅各比·伯努利的发现:

假设你银行里有1元钱。此时出现了严重的通货膨胀，银行的利率已经飙升到了100%(为了计算方便而夸大)。如果银行一年支付一次利息，自然，一年后你可以得到1元的本金(蓝圈)和1元的利息(绿圈)，总共余额两元。

(来源:betterexplained)

目前银行年利率不变，但为了吸引客户，银行推出了惠民政策，每半年付息一次。然后到第六个月，可以提前从银行拿到0.5元的利息。

(来源:betterexplained)

明智的，你会立刻把0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也会在下一个结算周期产生利息(红圈)。专业术语叫“复利”，所以年底的存款余额就等于2.25元。

(来源:betterexplained)

这时我们可以从另一个角度来看:即每个结算(成长)周期为半年，每半年计息50%(或100%/2)，一年结两次息，第一次结算后立即存入利息。我们此时的计算公式和结果如下:

继续说，就说现在，银行为了和其他银行争夺业务，短期内不想赚钱，所以每四个月付息一次！但如果你聪明的话，还是会一拿到就把利息存起来，类似于半年结一次息:即每个结期四个月，每四个月的利率是33.33%(或100%/3)。你会一年结三次利息，前两次结完之后所有的利息会立刻存入。

(来源:betterexplained)

此时，计算公式和结果如下:

我的天啊，虽然年利率没变，但是随着每年付息次数的增加，年底你能从银行拿到的钱其实也在增加！

那么会一直增加到无穷大吗？想变美…

现在，假设储户和银行都疯了。银行在年利率100%的前提下，不断给储户支付利息。储户天天待在银行，拿到利息就存银行。这样得到的利息叫做“连续复利”。

但是，你会发现，似乎有一个“天花板”挡住了你用1元疯狂赚1亿的小目标。这个“天花板”就是E！

如果我们做一系列的迭代运算，我们会看到以下结果:

其中n指一年内结息的次数。

只要年利率保持100%不变，并且利息的结算次数不断增加，余额将趋近于E = 2。59660.88868888661

那么，最后，我们可以牺牲一个重要的极限，在这个高等数学的微积分中计算E:

现在回头看这个重要的极限，一定要有更直观的认识。

也就是说，即使银行的年利率是100%，无论你怎么要求银行给你“复利”，你也不可能在年末得到超过E倍本金的余额。另外，我也没见过哪个银行的年利率是100%的。

虽然正常的银行不会推出连续复利的优惠政策，但在本质上，大部分事物都处于“无意识的连续增长”状态。对于一个连续增长，如果单位时间的增长率是100%，那么在一个单位时间后，它将变成原来的E倍。生物的生长繁殖类似于“利润滚动”的过程。

例如，在等轴测螺旋线中:

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(来源:维基百科)

如果用极坐标表示，其一般数学表达式为:

其中A和B是系数，R螺旋上的点到坐标原点的距离，θ是旋转角度。这是一个以自然常数e为底的指数函数。

例如，鹦鹉螺壳的剖面呈现出美丽的等距螺旋:

鹦鹉螺壳

(来源:维基百科)

热带低压看起来也像一个等距螺旋:

热带低气压

(来源:维基百科)

甚至螺旋星系的旋臂也像等边螺旋:

螺旋星云

(来源:维基百科)

也许这就是E被称为“自然常数”的原因。当然，自然常数E的奇妙远不止于此，一本书也看不完。