歌德巴赫猜想(陈景润1+2证明过程)

哥德巴赫猜想是数学中最迷人的未解之谜之一。在这篇文章中，我将带你踏上穿越时间和数学的旅程。

除了最初的定义，我将介绍一些其他方式来看待这个猜想。视觉上和代数上。我们将证明一个等价，并对其进行一些研究。

质数（素数）

哥德巴赫猜想是关于质数的。在深入研究数学中最古老也是最“可怕”的问题之前，我们先来试着理解一下为什么要先关心质数。

回想一下，质数是大于1的整数，只有1和它本身能除尽。

前几个质数是2，3，5，7，11，…

在数学中，尤其是数论领域，我们研究整数，往往把研究局限于称为自然数的正整数。也就是说，我们对1，2，3，4，5，…这样的数字感兴趣。

在数学和自然中，研究不同物体的一种方法是研究所有物体的基本成分。算术基本定理表明，每一个大于1的自然数都可以唯一地写成素数的乘积。换句话说，每个自然数都由一组唯一的质数组成。的唯一素因子分解。

例如，数字6可以唯一地写成23，28可以唯一地写成227。从这个意义上说，如果我们了解了质数的一切，那么关于自然数的大量信息就会随之而来。

以此类推，物理学家研究的是物质和力的基本组成部分，如夸克、弦、量子场、波动方程等。为了了解自然及其规律，化学家研究原子如何结合成分子，以更好地了解它们的反应，生物学家研究细胞及其组成部分，以更好地了解生命本身。

我们研究质数是因为质数是自然数的基础。

一个看似乏味的问题

742年6月7日，德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫给历史上最伟大的数学家之一莱昂哈德·欧拉写了一封信。虽然这封信乍一看似乎毫无意义，但它包含了数学中最大的奥秘之一。

他在信中提出了以下猜想:

每个整数可以写成两个素数之和，也可以写成任意多个素数之和，直到所有项都是1。

那时，数字1被认为是一个质数。

然后他在字母空的白色部分提出了他的第二个猜想。

每一个大于2的整数都可以写成三个素数之和。

欧拉在1742年6月30日的一封信中回复了哥德巴赫，并提醒他他们之前的谈话，其中哥德巴赫说这两个猜想中的第一个将从他的陈述中推导出来。

每个正偶数都可以写成两个素数之和。

从历史的角度来看，在数论中，重要的东西总是在边缘。想象一下费马。

以下是1742年哥德巴赫写给欧拉的信的原文。

哥德巴赫1742年6月7日致欧拉的信（拉丁德文）

哥德巴赫信中空的猜想，现在叫做哥德巴赫猜想。在现代语言中，它陈述如下。

巴赫猜想:

每一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。

让我们在前几个例子中测试一下。

4 = 2 + 26 = 3 + 38 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 5

在某些情况下，将一个数写成两个质数之和的方法不止一种。这个猜想没有提到这一点，所以当然是允许的。

这个猜想一直是很多数学家的灵感来源。为了研究这个问题，人们创造了许多工具。然而，在过去的300年里，它打败了世界上最优秀的数学家，至今仍是未解之谜。

欧拉自己说过:

对于每一个偶数都是两个素数之和，我认为这是一个完全确定的定理，虽然我无法证明。

这个猜想到底说明了什么？

在数学中，经常可以从不同的角度看一些定理。有时候一些角度比另一些角度更清晰，这就叫对等。

假设你有两个命题A和B，如果A和B等价，也就是A为真，那么B为真，B为真，那么A也为真。

例如:

设s是实数的子集。然后有两种表达方式。

答:你可以用1除以s中的任何数。

B: 0不在s中。

a和b是等价的。因为假设A为真。那么0不可能在S中，因为1不能被0整除，所以B也是正确的。反过来，假设B为真，那么我们可以将S中的任意数除以1。因为唯一不能被1整除的实数是0，所以A一定是正确的。

注意(至少对我来说)上面的语句B比语句a更清晰易懂，这只是两个表达式等价的一个简单例子。但在现实生活中，它们往往更难证明。

哥德巴赫猜想的几何学

让我们看看这个猜想到底是什么样子的。

一个数当然是偶数，这意味着它能被2整除。那么两个数之和是偶数是什么意思呢？从几何的角度，我们首先可以注意到，命题p+q = 2n等价于(p+q)/2 = n，即p和q的平均值等于n。

这在几何上意味着什么？想象一条实线，中间是0，左边是负号，右边是正号，包含了你平时想到的所有数字。

从上面的陈述可以看出，在实数直线上有一个以N为圆心的圆与实数直线上的P和Q相交，即P和Q与N在数轴上的距离相等。我们以后会用到这个事实，记住这适用于任何数p和q，不仅仅是质数。

简而言之，设p，q，n为满足p+q = 2n的任意自然数，则p，q围绕n对称分布。

我们可以用这种语言表达哥德巴赫猜想:

对于n≥2的整数，在以n为圆心的平面上有一个圆，圆的半径r为0≤r≤n-2且n为素数，则r = 0或圆与实数相交于两个素数。

这其实相当于哥德巴赫猜想。

这是一个更好的视角吗？也许不是，但至少它给出了一个关于这个问题的很好的几何直觉。它说整数和质数之间存在潜在的对称性。

请注意，我们不需要这些圆，我们只需要这些数围绕n对称分布在一条直线上。但是，我觉得这些圆给了我们一个很好的几何直觉来描述这个现象。

在下一节中，我们将从这个观点中得到启发，并实际证明另一个等价。

半素等效

在数论中，我们倾向于把问题分成两组。加法问题和乘法问题。比如我们用质因数分解一个大于1的自然数，就是一个乘法问题。孪生素数猜想和哥德巴赫猜想在性质上更多的是加法。

如果哥德巴赫猜到有更乘法的方法呢？

科普一下，半素数是两个素数乘积的自然数。

前半部分的素数是4，6，9，10...

半质数没有质数讨论的那么广泛，但从某种意义上来说，半质数与质数“接近”，这本身就使得半质数值得研究。我断言，下面的陈述等价于哥德巴赫猜想。

1:对所有n≥2，存在一个整数m，使得0≤m≤n-2，n-m是半素数。

让我们证明下面的命题:

命题:表达式1等价于哥德巴赫猜想。

证明:

假设哥德巴赫猜想成立，假设有一个整数n≥2。然后我们假设对于一些素数p和q2n = p+q，然后我们假设对于一些素数p和q，2n = p+q。

假设p≤q不失一般性，通过上面的讨论，有一个整数M，使0≤m≤n-2和

p = n - mq = n + m

即n -m = (n-m)(n+m) = p⋅ q..

所以n-m是半素数。

反过来，假设表达式1成立，假设有一个数2n，n≥2。我们需要证明2n可以写成两个素数之和。

通过假设，我们可以找到一个数m，其中0≤m≤n-2，n-m是半素数。由于n-m = (n-m) (n+m)，那么n-m和n+m都是质数，那么我们有:

2n = (n-m)+(n+m)，所以2n是两个素数之和。

神盾局。

当然，这意味着如果你证明了表达式1，那么你就隐含地证明了哥德巴赫猜想(反之亦然)。

可视化哥德巴赫猜想

这在视觉上是什么样的？

原来你可以把整数想象成由小立方体组成的1维、2维或3维的盒子。

例如，数字6可以由1 × 6的一维立方体或2 × 3的二维立方体组成，

27可以是3 × 9的二维立方体，也可以是3 × 3 × 3的三维立方体。

想象一个正方形，有一个二维的小立方体。

根据上面的哥德巴赫猜想，无论你的正方形有多大，都可以去掉一些更小的正方形(或者不去掉)，这样得到的形状只能重构为一维或者二维的盒子，而不是三维的。

看起来像下图。

我们在图中看到9²-4²。这些粉色方块在三维上不能形成一个盒子，二维上只能形成一个5 × 13的盒子，一维上只能形成一个1 × 65的盒子。好奇心和抽象的重要性

质数的研究很重要，因为正如开头提到的，他们建立了所有其他的数，这种哲学已经延续了2000多年。但当时希腊人不知道的是，2300年后，质数的信息在网络安全和网上交易中起到了至关重要的作用。欧几里德很伟大，但他不可能预见到互联网的发明。

这说明，虽然一些纯数学的研究可能不会直接应用到社会上，也不会影响我们的日常生活方式，但可能会改变2000年以后人类的生活方式。

好奇心是科学中最重要的礼物。