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测绘杂志

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等效条件平差模型中方差-协方差分量的最小二乘估计方法

刘志平1, 朱丹彤1, 余航1, 张克非1,2、朱1、余杭1、1、2

1.中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221116；2.澳大利亚维多利亚州墨尔本皇家墨尔本理工大学空科学研究中心3001

收到日期:2018年1月22日；最近更新日期:2018年11月28日

基金:国家自然科学基金重点项目(41730109)；国家自然科学基金(41771416；41204011);江苏“双创团队”项目(cumt 07180005)；江苏省“双创个人”项目(cumt 07180003)；自然资源部精密工程与工业测量重点实验室开放基金(PF2017-12)

第一作者简介:刘质平(1982—)，男，博士，副教授，研究方向为混合误差理论与反演、全源定位导航及应用。E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn；zhpnliu@163.com

本文提出了等价条件闭合差方差-协方差分量的最小二乘估计方法，简称LSV-ECM方法。首先，利用等价条件平差模型建立基于等价条件闭差二次型的方差-协方差分量估计方程，并通过矩阵半拉直算子将其转化为线性高斯-马尔可夫形式。然后，利用最小二乘准则推导出了通用、简洁、无偏和最优的方差-协方差分量估计公式。其次，证明了LSV-ECM方法与残差VCE方法的等价性，并在此基础上，通过计算复杂度定量分析了该方法的计算效率。最后，通过角网平差、中国地区GNSS站坐标时间序列建模和结果分析，验证了新方法的正确性和计算效率。

关键词:等效条件平差模型的方差-协方差分量估计LSV-ECM方法GNSS站坐标时间序列角网中

基于等效条件平差模型的最小二乘方差-协方差分量估计方法

刘志平1，朱丹彤1，余杭1，张克非1，2

1.中国矿业大学环境科学与空间信息学院，徐州221116；2.澳大利亚墨尔本皇家理工大学空间研究中心，VIC 3001

基金资助:国家自然科学基金重点项目(编号:41730109)；国家自然科学基金(编号:41771416；41204011);2017年江苏省双创团队项目获奖情况(编号:cumt 07180005)；2017年江苏省双创人才计划获奖项目(编号cumt 07180003)；精密工程的开放基础。自然资源部工业测量重点实验室(编号PF2017-12)

第一作者:刘质平(1982—)，男，博士，副教授，主要研究方向为混合误差理论与大地测量反演、全源导航定位及应用。E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn；zhpnliu@163.com。

文摘:提出了一种基于等效条件误差的VCE方法——最小二乘方差-协方差分量估计方法(LSV-ECM)。包括三个步骤。首先，利用等效条件平差模型中的投影矩阵提取等效条件闭合差，并建立方差-协方差分量估计的二次方程。然后使用半向量化算子将矩阵形式的二次方程转换成线性化的高斯-马尔可夫形式。利用最小二乘原理，结合无偏最优估计，推导出一种简化的广义LSV-ECM方法。此外，从数学上证明了LSV-误差修正模型与现有VCE方法的等价性，并在间接平差模型中定量分析和研究了LSV-误差修正模型与现有VCE方法的计算复杂性。结果表明，新方法具有最高的计算效率。最后，通过对一个三角网的平差和对GNSS站坐标时间序列的分析，评估了新方法的性能和优越性。

关键词:等效条件平差模型方差-协方差分量估计LSV-ECM方法三角网GNSS站坐标时间序列

随着现代测量技术的发展，测量数据处理的对象已经从单一的同质观测数据转变为多源、多类或同质的多因素异方差观测数据。在这种情况下，随机模型的精度对参数解估计的统计特性有重要影响[1-2]。方差-协方差分量估计能极大地改善随机模型的不精确性，已成为国内外学者关注的焦点，并已形成完整的理论框架[3-8]。近年来的主要理论研究包括:①以残差向量为基本输入的残差VCE方法，如赫尔默特方法[1-2，7]，LS-VCE方法[9-11]，明克方法[12]，比克方法[13]和极大似然估计-VCE方法[14]。②以等价条件闭合差为基本输入的解析VCE法，如VCE-ECM法[17-18]。近年来的主要应用研究有:文献[19-20]研究了常规导线控制网中角度观测和距离观测的加权；文献[21-22]讨论了GNSS观测的随机模型的改进。参考文献[23-24]研究了坐标变换中不同公共点坐标的精度；参考文献[11，25—26]对GNSS站坐标时间序列的噪声估计和评估进行了研究。

大量研究表明，LS-VCE方法[9-10，15]可以推导出赫尔默特、明克、MLE-VCE等方法的方差-协方差分量估计公式，并且具有最好的无偏特性。同时，基于等效条件平差模型的VCE-ECM方法[17-18]以等效条件闭合差为基本输入，摒弃了平差值求解或残差估计的过程。鉴于此，本文基于方差-协方差分量的最小二乘估计准则和等价条件平差模型，利用等价条件闭合差的二次型构造方差分量估计公式，进而将方差分量估计方程转化为线性高斯-马尔可夫形式，建立基本估计方程。然后，考虑矩阵拉直、半拉直算子和Kronecker积的性质，推导出基于等价条件错接的方差-协方差分量的最小二乘估计公式(简称LSV-ECM方法)。在此基础上，证明了LSV-ECM法与残差VCE法的等价性，定量分析了LSV-ECM法、赫尔默特法和LS-VCE法的计算复杂度。通过中国地区边角网平差和GNSS站坐标授时建模实例，验证了该方法的正确性和有效性。

1等价条件闭合差方差分量的最小二乘估计1.1等价条件平差模型

假设广义平差模型为

(1)

其中A和[BTCT]是行满秩系数矩阵；w是带参数的条件方程的闭合差；z是约束方程的闭合差；DL是观测值L的方差矩阵；v和x分别是待求解的残差和参数向量；下标c和s分别是条件方程的个数和约束条件方程的个数；n和U分别是观测值和参数的个数；调整自由度r = (c+s)-u。

设矩阵BT=[BTCT]，用正交投影矩阵H消去参数向量，即

(2)

其中h称为零空之间的算子；Bu和Br是B的上U行和下R行的分块矩阵，即Bt =[but BRT]；公式(1)的方程两边都左乘h，根据公式(1)，公式(2)的广义平差模型可以转换成等价的条件平差模型。

(3)

在这个公式中，A=HcA和w=HcW+HsZ称为等价条件闭合差。Hc和Hs是H的左c列和右s列的分块矩阵，即H= [HcHs]。

1.2方差-协方差分量最小二乘估计法

假设广义调整模型公式(1)中的随机模型DL可以表示为

(4)

其中∑()表示累计运算；k是方差-协方差分量的个数；气是第I个辅因子成分矩阵。

通过公式(3)，等价条件闭合差W的随机模型可以表示为

(5)(5)

设F=DW，可根据公式(4)和(5)得到

(6)

其中Qi=AQiAT。

进一步，设θ=[σ0，12σ0，22… σ0，k2]T，并考虑F和Qi的矩阵对称性质，利用下三角矩阵拉直算子(简称半拉直算子)VH()对公式(6)方程中F和Qi的两端进行变换，得到

(7)

其中m = r(r+1)/2；fvh = VH(F)；Qvh=[vh(Q) vh(1 Q) … vh(2 Qk)].

向量Fvh的方差矩阵为σ VH，n使得= 2 qvhtσVH-1 qvh；U = 2QVHT σ VH-1FVH，公式(7)的方差-协方差分量估计公式可以通过最小二乘准则得到。

(8)(8)

(9)

其中，D是复制矩阵[9]，即半拉直算子和拉直算子之间的映射矩阵。

(10)(10)

从分析可以看出，公式(8)-公式(10)包含了大量的高维矩阵迭代运算(r2阶)，因此需要进一步简化矩阵运算。考虑到矩阵拉直算子VEC()、克罗内克乘积和矩阵迹算子TR()具有以下性质[9]

(11)(11)

利用公式(9)-公式(11)对方差-协方差分量估计公式N和u中的元素进行简化和整理。

(12)

(13)

公式(8)和公式(12)-公式(13)构成了该方法方差-协方差分量估计公式的最终形式。从上面的推导过程可以看出，本文的方法只包含等价条件平差模型的DW、Qi、W三类输入，降低了矩阵运算的维数(从r2阶降到R阶)，在最小二乘迭代估计过程中只需要更新DW(Qi、W为已知量)。对于特定的平差模型，只需对DW、Qi、W公式进行变换，即可得到相应的方差-协方差分量估计公式(表1)。因此，本文称为等价条件闭合差的方差-协方差最小二乘估计方法，简称LSV-ECM方法。这种方法用广义平差模型导出的等价条件的闭合差来表示，不同于赫尔默特的一般VCE方法[7]使用基于平差因子的残差向量，等效残差VCE方法[15-16]使用基于正交矩阵分解的等效残差。得到的估计公式具有更好的模型通用性和形式简单性。其次，本文的LSV-ECM方法利用矩阵半拉直算子将方差-协方差分量估计方程转化为线性高斯-马尔可夫形式，利用最小二乘准则估计方差-协方差分量，从而保证了估计结果的无偏性和最优性。

1表不同调整模型的Qi、w、DW公式统计表。1Qi、w和dw用于不同调整模型的mulas

参量模型条件平差具有参数的条件平差间接平差附有限制的间接平差B=0,C=0C=0A=-I,C=0A=-IQiAQiATHAQiATHTHQiHTHcQiHcTWWHWHWHcW+HsZDWADLATHADLATHTHDLHTHcDLHcT

表格选项

现有文献已经证明了残差VCE方法之间的等价性，并形成了完整的理论框架。LSV-ECM法与残差VCE法的等价性也可以通过汇总平差因子矩阵r来证明，对于一般的平差模型，LSV-ECM法等价于赫尔默特一般VCE法[7](简称一般赫尔默特法)；对于间接平差模型，LSV-ECM方法等价于基于等价残差的LS-VCE方法[9，11]和LS-VCE方法[15]；对于带参数的条件平差模型，LSV-ECM方法等价于文献[10]中的相应算法。为了节省篇幅，这里只给出LSV-ECM方法与普适赫尔默特方法[7]等价关系的证明过程。

根据概括平差模型，[18]DW与概括平差因子矩阵R存在如下等式关系根据广义平差模型，DW与广义平差因子矩阵r有如下方程关系。

(14)(14)

考虑到公式(14)，Qi=HcAQiATHcT和W=HcAV，公式(12)-公式(13)的表达式Nij和Ui可以简化为关于广义调整因子矩阵r的表达式。

(15)

(16)

通过分析比较式(15)-(16)和(12)-(13)可以看出，LSV-ECM方法可以用来推导普适的赫尔默特方法[7]，并证明了等价性。其次，残差VCE方法(如赫尔默特方法、最小二乘VCE方法等。)都以残差向量为输入，而本文的LSV-ECM方法以等价条件闭合差为输入，实现了平差值解(残差是平差结果之一)与随机模型估计的分离。第三，等价条件的闭差的维数低于残差向量的维数，且前者是一个不需要求解的已知量，因此计算效率明显优于前者。

表2以间接平差模型为例，分析了三种方法在构造N和U时的计算复杂度(一次迭代所需的加法、乘法和求逆的复杂度[27])。从表2可以看出，一般的赫尔默特方法和LS-VCE方法都是以残差向量作为基本输入，所以两种方法的矩阵求逆复杂度完全相同，只是在加法和乘法复杂度上略有不同，所以一般的赫尔默特方法和LS-VCE方法在计算效率上基本相当；本文的LSV-ECM方法以等价条件的闭合差作为基本输入，矩阵求逆和加减乘除的复杂度小于一般的赫尔默特方法和LS-VCE方法，因此LSV-ECM方法的计算效率高于一般的赫尔默特方法和LS-VCE方法。

表2不同VCE方法的计算复杂度表2a不同VCE方法的计算复杂度比较

VCE方法矩阵求逆复杂度加法乘法复杂度通用Helmert[7]4O(n3)k2(6n3－3n2+n－1)+k(6n2－n－1)LS-VCE[9, 11]4O(n3)k2(6n3－5n2+n－1)+k(6n2－n－1)LSV-ECM4O(r3)k2(6r3－3r2+r－1)+k(6r2－r－1)

表格选项

2应用结果及分析2.1边角网的调整

为验证本文方法的正确性和有效性，利用边角网实例进行方差分量估计和参数平差计算。设有边角网[17]，其中A、B、C是已知点，P1、P2是待定点，网中观测了12个角度，编号为1~12，观测了6条边长，编号为13~18。采用间接平差模型，先验测角中误差为1.5″，测边中误差为2 cm，记后验测角方差为为了验证该方法的正确性和有效性，利用一个角网实例进行了方差分量估计和参数平差计算。有一个角网[17]，其中A、B和C是已知点，P1和P2是固定点。在网中观察到12个角，编号为1~12，6个边长，编号为13~18。使用间接平差模型，角度测量的先验中位误差为1.5″，边缘测量的中位误差为2 cm，角度测量的后验方差为

方案一:利用本文的一般赫尔默特方法[7]、LS-VCE方法[9、11]和LSV-ECM方法估计方差分量，计算参数调整。其中，测角和测边单位权中误差的初始迭代值均为先验中误差，迭代终止条件为测角和测边单位权中误差相等。

方案二:在方案一的基础上，剔除有粗差的第12个角度观测值和第16个边长观测值[18]，基于剩余的16个观测值进行方差分量估计和参数平差计算。

根据上述方案，统计了不同方法迭代收敛时的方差分量估计、参数估计及其误差。另外，为了避免单次计算的随机误差，将上述方案重复100次，统计本文的LS-VCE法和LSV-ECM法与一般赫尔默特法相比的耗时比Tratio。结果如表3所示。

表3不同VCE方法的估计结果表3a不同VCE方法的结果比较

结果方案1方案2HelmertLS-VCELSV-ECMHelmertLS-VCELSV-ECM3.64, 5.923.64, 5.923.64, 5.920.79, 3.070.79, 3.070.79, 3.07-1.56, 0.98-1.56, 0.98-1.56, 0.98-2.90, 0.53-2.90, 0.53-2.90, 0.530.89.1.030.89.1.030.89.1.030.09, 0.550.09, 0.550.09, 0.555.64, 1.645.64, 1.645.64, 1.643.48, 1.203.48, 1.203.48, 1.20-12.38, 1.86-12.38, 1.86-12.38, 1.86-17.80, 1.28-17.80, 1.28-17.80, 1.28Tratio196%65%197%71%

表选项表选项3.64，5.923.64，5.923.64，5.920.79，3.070.79，3.070.79，3.070.79，3.07

从方案1中待估计方差分量和参数的估计结果来看，三种结果完全相同，说明三种方法都能获得一致的估计结果。同时，比较三种方法的计算效率，一般赫尔默特方法和最小二乘VCE方法的计算效率处于同一水平。本文提出的LSV-ECM方法计算效率最高，其计算时间约为一般赫尔默特方法的65%，与一般赫尔默特方法和LS-VCE方法相比有明显提高，从而验证了该方法的有效性。

本文提出的方法的正确性和有效性也可以在方案2中得到验证，此处不再赘述。同时，在剔除方案2中的两个粗差后，两类观测值的单位权方差和参数估计精度都有了很大的提高，说明三种方差分量估计方法都不能抑制粗差的影响，必须引入质量控制方法来识别和剔除粗差。

2.2 GNSS站坐标定时建模

为了进一步检验本文LSV-ECM方法的正确性和有效性，中国大陆建设环境监测网(中国地壳运动观测网)对CMO NOC(2005.0014(DOY)~ 2015.0014(DOY)共10年的16个GNSS参考站原始坐标时间序列进行了噪声特征分析(方差-协方差分量估计)和三维运动速度估计(平差参数计算)。站点的位置分布如图1所示。

图1 CMO NOC中选定站点分布图1 CMO NOC网络中选定站点的地理分布

图形选项

GNSS站坐标时间序列的观测方程和随机模型分别为[11]

(17)

(18)(18)

其中ti是以年为单位的时间序列的历元点；a是常数项；b是线速度项；C和D的组合代表年周期运动；E和F的组合代表半年周期运动；Vi是剩余量；Wn，σFN是待求噪声分量的幅度；QWN和QFN分别是白噪声和闪烁噪声的余因子矩阵。具体形式见参考文献[11]。

基于上述间接平差模型，分别利用通用Helmert法[7]、LS-VCE法[9, 11]和本文LSV-ECM法进行方差分量估计和参数平差计算，并统计北(N)、东(E)、竖直(U)3个方向的噪声分量Tratio，结果如表 4所示。基于上述间接平差模型，本文分别采用广义赫尔默特法[7]、LS-VCE法[9、11]和LSV-ECM法进行方差分量估计和参数平差计算，统计了北(N)、东(E)和垂直(U)方向的噪声分量。结果如表4所示。

表4噪声成分估算结果(WN，FN)表4 WN和FN采用不同VCE方法的噪声分析结果

mm站点NEUHelmertLS-VCELSV-ECMHelmertLS-VCELSV-ECMHelmertLS-VCELSV-ECMWN, FNWN, FNWN, FNWN, FNWN, FNWN, FNWN, FNWN, FNWN, FNZHZC0.80, 2.110.80, 2.110.80, 2.110.78, 2.980.78, 2.980.78, 2.983.43, 9.733.43, 9.733.43, 9.73YANC0.52, 1.670.52, 1.670.52, 1.670.45, 1.870.45, 1.870.45, 1.872.10, 6.732.10, 6.732.10, 6.73XIAM0.79, 3.570.79, 3.570.79, 3.570.93, 3.190.93, 3.190.93, 3.193.78, 13.133.78, 13.133.78, 13.13WUHN0.76, 3.230.76, 3.230.76, 3.230.77, 3.030.77, 3.030.77, 3.033.01, 13.033.01, 13.033.01, 13.03TAIN0.96, 2.310.96, 2.310.96, 2.310.92, 3.100.92, 3.100.92, 3.103.18, 8.773.18, 8.773.18, 8.77QION0.98, 5.200.98, 5.200.98, 5.201.27, 4.631.27, 4.631.27, 4.634.7, 15.014.7, 15.014.7, 15.01LUZH0.68, 2.190.68, 2.190.68, 2.190.62, 2.630.62, 2.630.62, 2.632.73, 12.192.73, 12.192.73, 12.19KMIN0.67, 3.730.67, 3.730.67, 3.730.65, 4.940.65, 4.940.65, 4.943.29, 14.573.29, 14.573.29, 14.57JIXN0.58, 2.520.58, 2.520.58, 2.520.61, 1.980.61, 1.980.61, 1.982.37, 6.752.37, 6.752.37, 6.75HRBN0.61, 3.150.61, 3.150.61, 3.150.33, 3.450.33, 3.450.33, 3.451.50, 11.831.50, 11.831.50, 11.83HLAR0.75, 2.970.75, 2.970.75, 2.970.70, 2.650.70, 2.650.70, 2.652.32, 11.502.32, 11.502.32, 11.50GUAN1.07, 3.411.07, 3.411.07, 3.411.21, 5.081.21, 5.081.21, 5.085.23, 16.225.23, 16.225.23, 16.22DLHA0.41, 2.500.41, 2.500.41, 2.500.51, 2.310.51, 2.310.51, 2.311.51, 10.491.51, 10.491.51, 10.49CHUN0.55, 3.090.55, 3.090.55, 3.090.44, 3.050.44, 3.050.44, 3.051.92, 13.271.92, 13.271.92, 13.27BJSH0.76, 1.990.76, 1.990.76, 1.990.76, 1.350.76, 1.350.76, 1.352.81, 7.452.81, 7.452.81, 7.45BJFS0.61, 3.490.61, 3.490.61, 3.490.62, 2.190.62, 2.190.62, 2.192.73, 7.312.73, 7.312.73, 7.31Tratio(WN)199.5%74.0%199.8%73.8%199.9%72.1%Tratio(FN)199.5%74.0%199.8%73.8%199.9%72.1%注：高斯白噪声(WN)的单位为mm；闪烁噪声(FN)的单位为mm/a0.25

表格选项

比较表4中一般赫尔默特方法、LS-VCE方法和LSV-ECM方法的计算结果，可以看出三种方法得到的噪声成分完全相同，验证了该方法的正确性。同时，通过比较三种方法的计算效率可以看出，一般的赫尔默特方法与LS-VCE方法基本一致，而本文的LSV-ECM方法有较大的改进，三维计算时间比分别是一般赫尔默特方法的74.0%、73.8%和72.1%，说明了该方法的高效性。

从表4中噪声分量的估计结果可以看出，白噪声分量远远小于闪变噪声分量，这表明在中国地区GNSS站的坐标时间序列中，色噪声是主要噪声。如果直接用白噪声模型进行参数估计，估计结果会有偏差，假估计精度高。另外，比较不同方向的噪声分量估计结果，北向和东向的噪声分量相近，幅度较小。94%和88%的测站的白噪声成分在1 mm以内，50%的测站的闪变噪声成分在3 mm/a0.25以内，垂直方向的噪声成分远高于水平方向，与现有结论一致。大约56%的台站的白噪声成分在3毫米以内，30%

为了进一步分析噪声大小与经纬度的关系，绘制了白噪声分量和闪变噪声分量随经纬度的变化。由于噪声与纬度的相关性较强，而噪声与经度的相关性较弱，为了节省篇幅，这里只讨论噪声与纬度的关系，如图2所示。从图2可以看出，水平方向的白噪声和闪烁噪声分量相对稳定，而垂直方向的噪声波动较大。从整体趋势来看，白噪声和闪变噪声是随纬度变化的。具体来说，噪声随着纬度的增加而逐渐降低，降低过程中略有波动，中纬度地区出现翘尾现象。产生这种现象的原因分析可能是GNSS的GDOP值随着纬度的增加而减小[28]，使得噪声分量随着纬度的增加而减小，并且噪声分量在中纬度表现出一定的翘尾现象。

图2噪声分量与纬度的关系图2噪声分量与纬度的关系

图形选项

此外，为了检验方差-协方差分量估计结果的正确性和有效性，采用CMO NOC(http://www.cgps.ac.cn/cgs/index.action)公布的数据作为比较参考值，表5统计了我国区域GNSS站的三维运动速度和不确定性。从表中可以看出，我国不同台站水平方向呈东南运动趋势，与亚欧板块整体运动趋势一致，但垂直运动变化差异较大，约40%的台站呈下沉趋势。将本文结果与CMONOC公布的结果进行比较，除了JIXN和站N方向、KMIN和GUAN站E方向、CHUN和BJFS站U方向外，其他所有计算结果均在平均误差的2倍以内。此外，参考文献[29]的计算结果，发现除春站U外其他站的计算结果与本文结果吻合较好，进一步验证了此方法的正确性。需要指出的是，春台U向的差异可能是由于数据预处理和共模误差提取策略不同造成的。

表5站点移动的速度和不确定性表5不同站点的速度和不确定性

mm/a站点NEU本文方法CMONOC本文方法CMONOC本文方法CMONOCZHNZ-11.35±0.07-11.18±0.1532.90±0.1133.17±0.231.21±0.311.24±0.38YANC-9.30±0.05-8.69±0.1432.57±0.1032.46±0.051.06±0.221.02±0.13XIAM-12.16±0.11-12.48±0.1732.47±0.0632.82±0.171.4±0.420.78±0.36WUHN-10.93±0.10-11.08±-0.1232.50±0.1133.60±0.74-0.79±0.420.47±0.41TAIN-11.54±0.07-11.58±0.3730.98±0.1031.38±0.160.92±0.281.21±0.30QION-11.98±0.17-10.24±0.7831.57±0.1031.94±0.15-0.6±0.48-0.46±0.32LUZH-9.75±0.070-9.61±0.1334.96±0.1535.76±0.280.46±0.390.35±0.30KMIN-17.23±0.12-16.18±0.8733.09±0.0831.13±0.53-1.23±0.47-0.48±0.31JIXN-9.72±0.08-10.35±0.0629.13±0.1628.66±0.111.79±0.221.53±0.17HRBN-12.56±0.10-12.38±-0.2125.79±0.0625.95±0.51-0.49±0.38-0.09±0.21HLAR-10.51±0.09-11.35±0.0425.76±0.1125.88±0.072.05±0.371.44±0.16GUAN-11.11±0.11-11.23±0.1031.30±0.1033.11±0.19-0.33±0.52-1.97±0.46CHUN-11.58±0.10-12.21±0.1427.37±0.0726.53±0.52-1.81±0.42-0.15±0.29BJSH-11.45±0.06-11.28±0.1830.10±0.1029.94±0.131.36±0.241.05±0.29BJFS-9.94±0.11-10.18±0.1430.58±0.0430.10±0.192.63±0.24-0.11±0.63

表格选项

3结论

本文基于等价条件平差模型和最小二乘准则，利用等价条件闭合差的二次形式构造方差-协方差分量估计方程，并通过矩阵半拉直算子将其转化为线性高斯-马尔可夫形式。然后，考虑矩阵拉直算子、半拉直算子和Kronecker积运算的性质，推导出基于等价条件平差模型的方差-协方差分量的最小二乘估计公式，简称LSV-ECM方法。该方法实现了平差值解(残差是平差结果之一)与随机模型估计的分离，有效地考虑了等价条件(已知)的闭合差和最小二乘的特性。边缘平差实例结果表明，本文的LSV-ECM方法与一般的赫尔默特方法和LS-VCE方法具有相同的结果，但计算效率更高，验证了该方法与残差VCE方法的等价性和计算效率。

指出方差-协方差分量估计法相对于常规GNSS-MLE法在GNSS站坐标时间序列噪声分析中的优势，并利用LSV-ECM法、通用赫尔默特法和LS-VCE法计算分析了WN+FN模型下中国区域16个GNSS站的噪声估计和站速。估计结果表明，在我国GNSS站坐标时间序列中，色噪声是主要噪声，白噪声和色噪声分量随着纬度的增加而减少。速度估算结果与陆网公布的结果基本一致，总体水平运动趋势为东南向，垂直运动趋势差异较大。因此，计算结果进一步验证了本文LSV-ECM方法的正确性和有效性。

引用格式:，朱，于航，等.等价条件平差模型方差-协方差分量的最小二乘估计方法.测绘学报，2019，48 (9): 1088-1095。1947年10月11日。日本地球自转中心。38690.68868688661

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