数学危机(第四次数学危机)

从哲学的角度来看，矛盾无处不在，即使是以确定性著称的数学也不例外。数学中有很多矛盾，正与负，加减，微分与积分，有理数与无理数，实数与虚数，等等。在整个数学发展过程中，还存在着许多深刻的矛盾，如贫穷与无限、连续与离散、存在与建构、逻辑与直觉、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿始终的是冲突和解决。当矛盾激化到整个数学基础，就会出现数学危机。危机的解决往往能给数学带来新的内容，新的发展，甚至革命性的变化。

数学的发展经历了三次基础理论危机。

一、第一次数学危机

从某种意义上说，现代意义上的数学，即作为演绎系统的纯数学，起源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这是一个理想主义的学校，大约在公元前500年繁荣。他们认为“万物皆有数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，是可以应用到现实世界的。数学的知识是通过纯思维获得的，不需要观察、直觉和日常经验。

整数是在计算对象的有限积分过程中产生的抽象概念。在日常生活中，我们不仅要计算单个物体，还要测量各种量，如长度、重量、时间等。为了满足这些简单的测量需求，我们需要使用分数。所以，如果把有理数定义为两个整数的商，实际测量就足够了，因为有理数系统包括所有的整数和分数。

有理数有一个简单的几何解释。在水平直线上，标记一个线段作为单位长度。如果它的固定端点和右端点分别代表数字0和1，可以用这条直线上单位长度间隔的点集来表示整数。正整数在0的右边，负整数在0的左边。以Q为分母的分数可以用把每个单位区间分成Q等份的点来表示。因此，每个有理数对应于直线上的一点。

古代数学家认为这会用尽一条直线上的所有点。然而，毕达哥拉斯学派在公元前400年左右发现，直线上有一些点不对应任何有理数。特别地，他们证明了在这条线上有一个点P不对应于一个有理数，这里距离op等于一个边长为单位长度的正方形的对角线。所以我们必须发明新的数字来对应这样的点，而且因为这些数字不可能是有理数，所以我们不得不称它们为无理数。无理数的发现是毕达哥拉斯学派最伟大的成就之一，是数学史上的一个重要里程碑。

无理数的发现引发了第一次数学危机。首先，对毕达哥拉斯完全依赖整数的哲学是致命的打击。其次，无理数似乎与常识相矛盾。几何对应也令人惊讶，因为与直觉相反，存在不可公度的线段，即没有共同度量单位的线段。由于毕达哥拉斯学派对比例的定义假定任何两个相似的量都是可概化的，因此毕达哥拉斯学派比例理论中的所有命题都局限于可概化的量，因而他们的相似性一般理论是无效的。

“逻辑矛盾”是如此之大，以至于在一段时间内，他们花费了大量的精力将此事保密，并且不允许将此事告诉任何人。但人们很快发现，不可通约并不是一个罕见的现象。泰勒斯指出面积等于3，5，6，…17的正方形的边也与单位正方形的边不可公度，并分别证明了每种情况。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为众所周知的事实。

诱发第一次数学危机的一个间接因素是芝诺悖论的出现，这进一步增加了数学家们的担忧:数学有可能是一门精确的科学吗？宇宙的和谐还存在吗？

大约在公元前370年，毕达哥拉斯学派的欧多克索斯通过给比例下一个新的定义解决了这个矛盾。他处理不可公度量的方法出现在欧几里得的《几何原本》第五卷，与戴德金1872年对无理数的现代解释基本一致。当今中学几何教材对相似三角形的处理，仍然反映出不可通约性带来的一些困难和轻微的思辨。

第一次数学危机表明，几何的一些真理与算术无关，几何量不能完全用整数及其比值来表示。相反，数字可以用几何量来表示。整数的崇高地位受到了挑战，古希腊的数学观点受到了极大的冲击。由此，几何开始在希腊数学中占据特殊地位。同时也反映出直觉和经验不一定可靠，但推理证明是可靠的。从此，希腊人开始从“不证自明”的公理出发，通过演绎推理，并由此建立了几何体系。这是一场数学思想的革命，也是第一次数学危机的自然产物。

回顾这之前的各种数学，无非就是“计算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用于实际问题。比如泰勒斯对日食的预测，通过阴影计算金字塔高度，测量船只离岸距离等。都属于计算技术的范畴。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国家的数学，都没有经历过这样的危机和革命，所以继续走计算和应用为主的道路。但由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学走上了一条完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系和亚里士多德的逻辑体系，为世界数学做出了又一次杰出贡献。

但从此以后，希腊人就把几何当成了一切数学的基础，把对数字的研究附加到对形状的研究上，割裂了两者之间的密切关系。这样最大的不幸就是放弃了对无理数本身的研究，极大的限制了算术和代数的发展，基础理论很单薄。这种畸形发展在欧洲持续了2000多年。

二、第二次数学危机

17、18世纪，关于微积分的激烈争论被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的角度来看，它的发生是必然的。

这场危机的萌芽大约出现在公元前450年。芝诺注意到了理解无限的问题所引起的矛盾，提出了关于时间的有限性和无限性的四个悖论空:

“二分法”:一个向目的地运动的物体首先要通过距离的中点，但要通过这个点，首先要通过四分之一的距离...以此类推直到无穷。——结论是:无限是一个无穷无尽的过程，运动是不可能的。

“阿喀琉斯(荷马史诗中跑得好的英雄)追不上乌龟”:阿喀琉斯总是要先到达乌龟的起点，所以乌龟必须总是跑在前面。这个论证和二分法的悖论是一样的，只不过不需要一次又一次地平分所需的距离。

“飞箭不动”:是指箭在运动过程中的任何时刻都必须在某个位置，所以是静止的，所以箭不可能是运动的。

“操场或游行”:两个物体A和B以相同的速度向相反的方向运动。从静态C的角度来看，比如A和B都是一小时移动了2km，但是从A的角度来看，B一小时移动了4km。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论挑战时间和空无限可分，所以运动是连续的观点，后两个悖论挑战时间和空无限可分，所以运动是不连续的观点。芝诺悖论可能有更深层次的背景，不一定是数学所特有的，但他们在数学王国引起了很大的轰动。它们表明希腊人看到了“无穷小”和“极小，极小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。结果无穷小被排除在希腊几何的证明之外。

经过多年的努力，终于在17世纪后期，微积分——微积分形成了。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的创始人。他们的成就主要在于:把各种相关问题的解法统一为微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法是互逆运算。由于运算的完备性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。与此同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题是无穷小竞争是否为零。无穷小及其分析是否合理？这在数学乃至哲学领域引起了一个半世纪的争论，导致了第二次数学危机。

无穷小到底是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿用三种不同的方式解释它:在1669年它是一个常数；1671年，有人说它是一个趋于零的变量；1676年，它被“两个消失量的最终比率”所取代。然而，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼茨试图用与无穷小成比例的有限差分来代替无穷小，但他找不到从有限到无穷小的桥梁。

英国大主教贝克勒在1734年写了一篇文章，说攻击流数(导数)“是一个丢失量的幽灵……能消化二阶和三阶流数的人，不会因为吞下神学论据而呕吐。”他说，原来的错误是通过忽略高阶无穷小而消除的，“不科学但正确的结果是通过双重错误得到的”。虽然当时贝克勒也掌握了微积分和无穷小方法中一些不清楚、不符合逻辑的问题，但他的动机是对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是对科学的追求和探索。

当时，一些数学家和其他学者也批评了微积分的一些问题，指出它缺乏必要的逻辑基础。比如罗尔曾经说过，“微积分是聪明谬误的集合。”在创造时代的早期，科学中有一些逻辑问题，不是个别现象。

18世纪的数学思想确实是不严谨和直观的，强调形式上的计算而不顾基础的可靠性。特别是没有明确的无穷小的概念，所以导数、微分、积分的概念不明确；无限的概念不清楚；发散级数求和的任意性等。符号的不严格使用；求导不考虑不连续性，不考虑导数和积分的存在，函数能否展开成幂级数等等。

直到19世纪20年代，一些数学家才更加重视微积分的严格基础。从波尔扎诺、阿贝尔、柯西、德赖克利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金德和康托尔的工作结束，历时半个多世纪，基本解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

波尔扎诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制级数展开和求和的滥用；柯西在1821年的代数分析课程中从变量的定义中认识到函数不一定要有解析表达式。他把握了极限的概念，指出无穷小量和无穷小量不是固定量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量。定义了导数和积分。Rychly给出了函数的现代定义。在这些著作的基础上，维尔斯特拉斯消除了不准确之处，给出了目前通用的极限定义，连续定义，并严格地把导数和积分建立在极限的基础上。

19世纪70年代初，Wilstrass、Dedekind、Cantor等人独立建立了实数理论，并在实数理论的基础上建立了极限理论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础上。

三、第三次数学危机

数学的第三次危机是由1897年的突然冲击引起的，至今没有得到令人满意的解决。这场危机是由康托的一般集合论边缘悖论的发现引起的。既然集合的概念已经渗透到数学的许多分支中，而且实际上集合论已经成为数学的基础，那么集合论中悖论的发现自然就引起了对整个数学基本结构有效性的怀疑。

1897年，福尔西揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托尔发现了非常相似的悖论，其中涉及到集合论的结果。1902年，罗素发现了一个悖论，它只涉及集合本身的概念。

罗素，英国，哲学家、逻辑学家和数学家。1902年写《数学原理》，后与怀德海(1910 ~ 1913)合著《数学原理》，将数学概括为公理体系，是划时代的著作之一。他在许多领域写了许多书，并于1950年获得诺贝尔文学奖。他关心社会现象，参加和平运动，经营学校。他从1968年到1969年出版了他的自传。

罗素悖论以多种形式得到普及，其中最著名的是罗索在1919年给出的，它讲述了一个村庄里理发师的困境。理发师宣布了一个原则，他只给自己不刮胡子的人刮胡子。当人们试图回答以下问题时，他们意识到这种情况的矛盾性质:“理发师能自己刮胡子吗？”如果他自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不自己刮，原则上应该自己刮。

罗素悖论震动了整个数学大楼。难怪弗雷格在收到罗素的信后，在他即将出版的《算术基本定律》第二卷的末尾写道:“一个科学家不会遇到比这更尴尬的事情，那就是当工作完成时，它的基础崩塌了。当这本书等待印刷时，拉塞尔先生的一封信把我置于这种境地”。戴德金德原本打算把《连续性与无理数》第三版付印，后来他也把稿子收回来了。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去的所有工作都是“废话”，并声称放弃不动点原理。

自从康托的集合论和上述矛盾的发现，许多额外的悖论出现了。集合论的现代悖论与几个古老的逻辑悖论有关。比如公元前4世纪的奥伯里德悖论:“我现在做的陈述是假的”。如果这个说法是真的，那它就是假的；但是，如果这个说法是假的，那它又是真的。所以这个说法既不能真也不能假，也逃不出矛盾。更早的时候，就有埃庇米尼得斯悖论(公元前6世纪，克里特人):“克里特人总是说谎者”。只要简单分析一下，就可以看出这句话也是自相矛盾的。

集合论中悖论的存在，清楚地表明有问题。自从它们被发现以来，人们已经发表了大量关于这一主题的文章，并进行了大量的尝试来解决这些问题。就数学而言，似乎有一条很容易的出路:人们只需要把集合论建立在公理化的基础上，做出充分的限制，就可以消除已知的矛盾。

1908年，塞梅罗第一次尝试了这种方法，后来许多人对它进行了加工。但这个节目因为只回避了一些悖论而未能解释而饱受诟病。况且也不能保证以后不会出现其他的悖论。

另一个程序可以解释和消除已知的悖论。如果你仔细考察，你会发现上面的每一个悖论都涉及到一个集合S和S的一个成员M(即M由S定义)。这样的定义叫做“非断言”，非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论:如果理发师标有M，所有成员的集合标有S，那么M被定义为“其S给并且只给自己不刮胡子的人刮胡子的成员”而没有断言。这种被定义的循环的性质是显而易见的——理发师的定义涉及所有成员，理发师本人就是这里的成员。因此，不允许非断言的定义可能是解决集合论中自知悖论的一种方法。但这种解决方案有一个严重的责难，那就是数学中包括非断言定义在内的那些部分非常不愿意被数学家抛弃，比如“每一个有上界的实非空集都有一个最小上界(upper bound)”的定理。

解决集合论悖论的其他尝试是从逻辑上寻找问题的症结，由此带来了对逻辑基础的全面研究。

从1900年到1930年，数学的危机使许多数学家卷入了一场大辩论。他们看到这种危机涉及到数学的基础，所以他们必须仔细考察数学的哲学基础。在这场大辩论中，原本不明显的意见分歧扩大为学校的争论。罗素的逻辑主义、布劳威的直觉主义、希尔伯特的形式主义应运而生。都是唯心主义流派，都提出了自己处理一般集合论中悖论的方法。虽然他们言辞犀利，在论点上看似相左，但其实各自的观点都吸收了对方的观点，有很多变化。

1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学争论暗淡了。从那时起，每个派别都沿着自己的道路发展和演变。尽管有争议的问题远未解决，但大多数数学家并不太关心哲学问题。直到最近几年，数学哲学问题再次引起了人们的兴趣。

承认无限集合和无限基数就像所有的灾难一样，这就是第三次数学危机的本质。虽然悖论可以消除，矛盾可以解决，但数学的确定性却逐渐丧失。现代公理集合论中有大量的公理。很难说哪个是真的哪个是假的，但也不能全部排除。它们与整个数学密切相关。所以第三次数学危机表面上解决了，但本质上是以其他形式在继续。

既然数学中的矛盾是与生俱来的，那么它的激烈冲突-危机是不可避免的。危机的解决给数学带来了许多新的认识，新的内容，有时甚至是革命性的变化。与以往所有的数学相比，20世纪的数学在内容上要丰富得多，在理解上也要深刻得多。在集合论的基础上诞生了抽象代数、拓扑学、泛函分析和测度论，数理逻辑作为数学有机体的一部分蓬勃发展。古代的代数几何，微分几何，复分析，现在已经扩展到高维。代数数论的面貌也改变了很多次，变得越来越美好，越来越完整。一系列经典问题圆满解决的同时，更多的新问题产生了。尤其是第二次世界大战后，新的成果层出不穷，从未停止。数学极其繁荣，这是人们与数学中的矛盾和危机斗争的产物。