阶乘运算(C上3下4怎么算)

作者|三川啦啦啦

来源|转自知乎专栏《凡事都算数》，《数学英才》获授权转载。在此感谢！

阶乘意味着:

我们规定下面是十以内的阶乘列表。

自然数n阶乘n!0111223642451206720750408403209362880103628800

说也奇怪，“把前面所有正整数相乘”好像是刚学乘法的孩子提出的问题。数学家为什么要专门定义这种运算？

阶乘与计数原理

数学的世界总是出奇的有趣，这似乎是一个笑话。然而，阶乘是组合数学中一个基本而关键的概念。从一个最基本的问题开始:

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不同的球有多少种不同的排列方式？

根据计数乘法原理，我们按照顺序一个一个的选球:第一个位置的球有几种选择方式，第二个位置的球只能在剩下的球中选择...所以最后的答案正是(注意这个感叹号不是感叹号~)

顺便介绍一下组合的概念:从20个不同的球中选择一个球有多少种方法？我们将把这个问题的答案记录为

这里不得不提置换中著名的“错位问题”:

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邮递员把不同收件人的信放错了多少次？

通过容忍和排斥的简单原理

可以计算。其中表示集合中元素的数量。

在放错的问题中，我们可以假设第一个邮箱放的都是正确的字母，那么所有的字母都放错了就是(德摩根定律)。

通过上面提到的全部排列很容易计算:

……

利用上面已知的信息，可以通过代入相容和排斥原理的公式得到。

然后通过集合的互补关系得到。

这是错误排列题的答案。

此外，如果我们发现错误行的概率-

随着字母数量的增加，这个概率趋于一个常数。

也就是说，当他足够大的时候，这个粗心的邮递员把所有的邮箱都投错的概率高达！(是惊叹的感叹)

从这个问题可以看出，阶乘和自然对数的底数有很深的渊源。顺便说一句，一个关于

如果你对微积分的重要性略知一二，学生们一定知道它的背后是一部波澜壮阔的微积分史。建议你看看以色列知名科普作家伊莱·毛(Eli Maor)的《E的故事:一个常数的传说》。

阶乘与初等数论

关于阶乘有很多故事。从初等数论的角度来说吧。

根据阶乘的定义，我们知道在那个时候，它一定是一个合数，所以自然会有尝试用质因数分解的想法。有这样的公式吗？有-

这个奇怪的公式提供了素数因式分解中素数的指数的算法，传统上用以下符号表示

这个公式的证明并不难，主要是利用了舍入函数的特性。

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既然大于的阶乘是一个合数，那么有没有可能是一个完全的平方数？回答:没有。

利用上面的公式，我们可以给出一个简单的证明。

事实上，我们只需要证明最近的素数，不超过，有

证明:有两种情况:

If(素数集合)，命题显而易见；

如果，设它是不超过的最近的素数，现在只需要证明它，所以有

否则，满足存在的理由就是贝特朗定理。这样一来，的出现就和(更接近)的极大值相矛盾了。因此，大于的阶乘不是完整的平方数。

提到阶乘和质数，不得不说威尔逊定理)——

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是正整数的充要条件；

由于文章篇幅有限，关于阶乘的初等数论结论很多，我就不一一列举了。

阶乘与高等数学

下面关于阶乘的内容涉及到很多微积分，就到此为止吧。

首先，关于阶乘的第一个问题是它有多大？阶乘运算毕竟不属于大家熟悉的初等函数(“幂指三反”的四则运算及其组合，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)。我们特别想知道阶乘的基本初等函数的表达式。于是斯特林近似应运而生。

虽然这是一个渐近表达式，但足以处理常见的极限问题。在阶次估计的基础上有更精确的公式和推导过程(潘承东、于)。

阶乘最关键的发展无疑要归功于欧拉引入的积分，这种积分后来被称为欧拉第一积分:

伽马函数图像

欧拉积分定义的函数称为伽玛函数。令人惊讶的是，这个函数是阶乘的“连续平滑版本”，即

从伽马函数的定义出发，通过一系列的分析方法可以得到斯特林公式。当然，最引人注目的是阶乘和再次奇妙的命运。

事实上，伽马函数也可以推广到复变函数，而且它有一些深刻的对称-余项公式:

-阶乘和圆周率也有联系。后来，大数学家黎曼将其与他的泽塔函数联系起来:

毫无疑问，Zeta函数是解析数论的中心，黎曼猜想仍然是人类一个杰出的重大猜想。关于黎曼猜想，推荐你读读马库斯·杜·索托伊，里面充满了精彩的跌宕起伏。

在维球体积公式中，还有伽玛函数的影子(阶乘):

我曾经在我的专栏《来自无限维的雨滴——正态分布的几何模型》[https://zhuan LAN . zhi Hu . com/p/45755600]中写过一篇文章，考虑了这样一个问题。

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给定单位球面上的点，考虑投影映射，将其投影到一维直线上形成的密度函数有什么特征？

高维球体中的点到一维空的投影示意图

7维情形的蒙特卡罗模拟

从图像中可以看出，密度曲线是标准的钟形分布。最后，我在文中证明了它与正态分布的联系:

伽马函数(阶乘)仍然起着举足轻重的作用，我们又见到了老朋友。

总结

虽然学过乘法的小学生都能算出阶乘，但阶乘还是充满了未解之谜。本文从中学生熟悉的排列组合和初等数论入手，介绍了它的“高阶版本”——γ函数，展示了它在高等数学中无处不在的身影，体现了数学一贯的美感。

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