阶乘是什么(阶乘是哪一年编入高中教材的)

阶乘是什么(阶乘是哪一年编入高中教材的)插图

从阶乘的定义出发，我们可以从数学上证明:0！=1。在排列组合领域，通常的解释是0对象只有一种排列方式，或者数学家找到了0！= 1而不是0！= 0更方便有用。

我们先来看阶乘的定义。

非负整数n的阶乘，用n！表示所有小于或等于n的正整数的乘积。

n!=(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)

这导致了递归关系。

n!=n (n-1)!

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排列‍

排列是一个集合中元素的唯一和特定的顺序。例如，具有三个元素的集合{a，b，c}可以以六种方式排列:

{a, b, c}, {a, c, b}, {b, c, a}, {b, a, c}, {c, b, a} 和 {c, a, b}。

从上面可以看出，3！=6。其实一个有四个元素的集合有4个！=24种排列，一个有五个元素{a，B，C，D，e}的集合有5！=120个排列。所以，另一种思考阶乘的方法是，设n是自然数，n！是有n个元素的集合的排列数。

同理，有两个元素的集合{a，b}有2！=2个排列组合，即{a，b}和{b，a}。有一组元素{a}具有1！=1排列组合，因为只能按一种方式排序。

不包含元素的集合称为空集合。有多少种方法可以对一组零元素进行排序？

我们已经知道了，一！=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120，…现在我们从后往前看，从5怎么走！= 120分中的4分！=24等等。你可以清楚地看到:

5!/5=244!/4=63!/3=2!2!/2=1!

所以，0！=1!/1。理论上，当n为有理数时，应该可以计算出n阶乘的值。比如什么(3/2)！多少钱？

伽马函数‍（gamma函数，γ函数）

定义。设z是一个复数。γ函数γ (z) in (z) >: 0(复平面的一半)定义为

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这个积分在(z)>:0处收敛。伽玛函数的一个基本性质由以下命题给出:

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上述命题的证明非常简单，可以通过分部积分来完成。

评估1处的伽马函数，我们发现:

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并且利用上面的命题，我们得到:

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可以看出，对于所有正整数n:

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gamma函数推广阶乘积的能力在数学的许多领域都有应用，例如组合学、概率论和幂级数的计算。

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