负数是自然数吗(四个连续自然数的和是26)

前段时间收到一位热心读者的邮件。信中提到，如果把1-1+1-1 … = 1/2当作事实，会得出1+2+3+… =-1/12这样一个无法理解的结论。这位读者提到的自然数之和，恰好在量子论和弦论中起着重要的作用。从true 空到空的维数的能量和自然数的和有微妙的关系。在这个小小的数学魔术中，甚至还有时间不连续的秘密空。

作者|董伟元

数学老师曾经告诉我们，只有收敛级数才能解无穷项之和。但是，在一些科普书籍中，我们会遇到一个神奇的总和:

所有自然数之和怎么可能是负数，怎么可能是分数？这是人性的扭曲还是道德的沦丧？

把对称轴想象成级数的和。

为了理解这个古怪的结论，我们先来看一个简单的例子:1，-1，1，-1，…这个数列能求出无穷项的和吗？意大利数学家格兰迪(1671-1742)早在1703年就开始认真考虑这个问题。可以说这是所有发散级数求和研究的起点，后来被命名为“格兰迪级数”。

意大利数学家格兰迪来源:维基百科

可能有朋友猜测，既然这个序列中1和-1一样多，那么总和应该等于0。可惜这样的猜测是错误的。无限集就像一个再生能力很强的变形虫，部分和整体一样多。在我们从序列中取出任何一个1或-1之后，剩下的1和-1的数目仍然是相同的。如果剩下的1和-1加起来是零，那么总和不是只由先取出的1或-1的个数决定吗——也就是任意整数？显然，这太不靠谱了。似乎根本无法通过比较1和-1的数字来总结。

另一种方法是借助收敛级数寻找线索。我们知道在| q | < 1: 00，

现在我们粗暴地让q=-1，于是就有了。

这个结果看似可以接受，但是，毕竟q=-1是一个“不合法”的条件，我们需要一个更合理的方式来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项总结为A(n)，那么现在开始找A(∞)。

哈！根据这个方程，我们再次得到a (∞) =的结果。这次好像没有明显违法，警察来了也不怕。但是，我还是觉得有些不对劲。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1+1=1

…

可以看到A(n)在1和0之间来回弹跳。根据极限的定义，

这个限制是不存在的。当我们写下符号A(∞)时，它所指的东西并没有明确的定义。其实这也是发散级数和的基本问题:如何定义发散级数和。

的定义不止一个。一般来说有两类:切萨罗和、阿贝尔和。此外，Ramanukin和Riemann发展了许多更一般的理论，中间有许多来自Euler的贡献。那些数学语言虽然严谨，但催眠和劝导的副作用也不小。因此，本文不打算赘述来自集合论的基本定义，只是用一个非常“物理”的角度来定义:A(∞)表示所有A(n)的平均值。

用“平均值”定义的求和法，能使许多发散级数求和。例如

1-2+3-4…

这个系列，你也可以用同样的方法直接用眼睛瞪出结果。我们用B(n)来表示前n项之和，即

因此

B(0)=0

B(1)=1

B(2)=1-2=-1

B(3)=1-2+3=2

…

在图上画出这些B(n)对应的点后，就不需要用笔计算了。你可以直接用眼睛看到所有B(n)的平均值是1/4。

如果只是看图不放心，我们还可以借助前面A (∞)的结论来计算B(∞)=:

稍微调整等式右侧的计算顺序。首先，用后括号中的第n项减去前括号中的第n项，然后相加。

也就是

A(∞)-B(∞)=B(∞)

因此

B(∞)= A(∞)=

将自然数之和变为-1/12的魔法

当然，有时候画点，直接用眼睛瞪出结果也是需要一些技巧的。以所有自然数之和为例，我们同样让C(n)表示前n项之和。

有麻烦了！很明显，C(n)对应的点都分布在一条上升的抛物线上，所以无法直接看到平均值，似乎根本不存在有限的平均值！别担心，我们可以继续改造。

这样，我们就可以把每个C(n)的对应点分成两个“半个点”，分别对应上式中的绿色和紫色项，分别画出来，实际上可以组成两条对称的曲线。

当我们辛辛苦苦画完了无限的“半个点”。您可以指向两条曲线之间的对称轴并宣布:

因为所有C(n)的平均值等于所有“半个点”的平均值，而“半个点”在两条曲线上的分布是完全对称的，只有在绿色曲线的起点有一个微不足道的差值0。

除了从图中猜测数值，我们还可以借助刚才那个B (∞) =的结果再次计算C(∞)。

调整顺序后

所以去吧

因此

其实有很多方法可以得到-1/12的结果。例如，神奇的泽塔函数

这个以复数s为变量的函数，因为著名的黎曼猜想和与数论的紧密联系，被反复研究。数学家们可以写出这个函数的许多变体，其中之一是解析地推广到所有复平面。

这个表格也可以用来计算

经过这么多各种各样的方式，条条大路通-1/12的结果。能不能把1+2+3+…=-1/12的公式大模大样地写进中学课本？我相信很多人会和我一样害怕。因为在以上所有的推导过程中，都有一个比较隐蔽的问题，就是等号的含义。将

或者

直接写

看似理所当然，但实际上，在两个公式中，前面的“=”代表“定义为”，而不是大小相等。因此，更清晰的措辞应该是

和

这样我们就可以看到-1/12的值并没有1+1=2那么自然。而是需要事先假设“所有自然数之和是一个确定的数”，然后精心选择一个逻辑自洽性最好的值，指定为所有自然数之和。但是，当逻辑自洽和直觉发生明显冲突时，我们都会感到惊讶，这在数学的发展中并不是什么新鲜事。

伸向无限远的剪刀

在前面的讨论中，我们直接忽略了数学极限的概念，粗暴地用平均值作为发散级数的和。现在我们再重新拿起极限的概念，从另一个角度看看-1/12是怎么出来的。

对于散度级数C(n)，我们可以引入剪刀差函数f(x)来抑制那些趋于无穷大的项，使得散度趋势在特定位置N附近停止，最终收敛到某个极限S(N)。这样，我们用极限的标准概念构造了一个S(N)。当N为有限时，S(N)为有限值，当N趋于无穷大时，S(N)对应所有自然数之和。

有很多功能可以充当剪刀，比如我们拿

此刻

通过数值计算，我们发现S(N)是随着N的增加而向着正无穷方向运行的，这符合我们之前的直觉，但是约定的-1/12呢？别急，我们再把S(N)展开1/N。我们发现S(N)在N较大时的数值结果可以很好地用下面的展开式来拟合。

哈！真不敢相信我又看到了这个-1/12。它是S(N)展开式中的一个常数项。也就是说，S(N)中与N的变化无关的分量是-1/12。当N足够大时，那些带有1/N的项可以忽略，S(N)可以看成一条最低点在-1/12的抛物线。

我们取剪刀函数f (x) = e (-x)再试一次。此刻

这个总数可以严格计算。我们先求下式两边β的导数。

可以得到

在N大的相同条件下做1/N展开，就会得到

取β=1得到

常数项-1/12也出现了，也是根下垂到-1/12的抛物线。

如果直接把f(x)作为跳跃函数，也就是在n=N处突然截断，那么

不会有-1/12的常数项。

似乎除了跳跃函数的突然截断，还可以得到其他的平滑截断方法。

这个有趣的结果。这似乎在告诉我们，所有自然数之和，尽管注定是无穷大，却因为某种神秘的原因，一直对-1/12情有独钟。或者，换句话说，

发散只是平庸的背景色，-1/12是刻在背景色上的性格内核。

真空能量

从实用的角度来说，我们有时需要像使用收敛级数一样处理自然数的和，所以我们必须找到一定的“缰绳”来控制。比如在研究真空能量时，物理学家碰到所有自然数的和，非常希望这个和是一个确定的数。

在量子场论的理论模型中，真理空就像一张立体的弹簧网，由无数的小弹簧纵横交织而成。所谓粒子，就是有些小弹簧振动得足够剧烈，以至于从远处看，以为弹簧网里有异物，但只要凑近了，就会看到那里除了振动本身什么都没有。也就是说，粒子本质上是真空振动。所以当能量变化时，粒子数不受任何守恒定律约束，可以增加或减少空。但粒子能否产生或消失，取决于小弹簧的振动频率。当振动频率为ω时，粒子数N与场的能量E之间存在这样的关系:

从关系式中可以看出，True 空每节约足够ω的能量，就会产生一个粒子；相反，每次还原都会擦除一个粒子。换句话说，每个粒子实际上是一个ω大小的能量包。有趣的是，当n=0时，对应的是true 空中没有粒子的情况，能量为ω。也就是说，当真空的能量低到可以再低的时候，能量仍然不为零，这就是真空的零点能。我们具体计算一下有限空空间中的真空能量，看看它和所有自然数之和是什么关系。

将所有频率的零能量相加，true 空中的总能量为

看，自然数的和。

所以它出现了，现在你应该能理解物理学家有多希望了。

这是一个确定的值。更有趣的是，如果我们认为自然数之和是-1/12，我们甚至可以设计一个物理实验来验证这个结论。

如下图所示，放置三块平行的金属板，使甲、乙距离为A，乙、丙距离为B。

根据刚才的结论，我们知道甲、乙之间的真实空能量为

C之间的真空能量为

现在我们想知道当A < B时，中间位置的金属板B会受到哪个方向的力，根据能量对位置的偏导数，可以求解出受力情况。人们发现，如果

金属板B将受到向右的力；否则，它会被迫向左。

实际上，实验装置可以进一步简化。我们可以把最右边的C取无穷远，只留下A和B，然后衡量A和B是相互吸引还是相互排斥。如果它们互相排斥，就意味着

否则，这意味着

这个实验思想是由荷兰物理学家卡西米尔(1909-2000)于1948年首先提出的。当然，实验的目的不是为了测量自然数的和，而是为了验证真空零点能的存在。其实卡西米尔在提出这个实验的时候，就预言了两块金属板会相互吸引，也就是相互对应。

，因为他的理论计算过程采用了解析延拓后的黎曼ζ函数。1996年，华盛顿大学的Lamoreaux通过实验证实了卡西米尔效应的存在，他的论文于1997年1月发表在《物理评论快报》(PRL)上。

需要澄清的是，卡西米尔效应的实验证明，它只能说明真空零点能的存在，而不能真正用于验证数学意义上所有自然数的和。其实现实中金属板只能阻挡有限频率范围内的电磁波。当频率超过一定值时，金属板无法阻挡这种极高频率的波。因此，从更精确的角度计算卡西米尔效应时，应该考虑这种高频截断。但具体计算会用到欧拉-麦克劳克林公式和伯努利数，这些都是催眠内容，本文不再赘述。

让我们转向弦理论，看看所有自然数的和与维数的关系。

空的纬度

如前所述，两端固定的弹簧上只能有驻波，所有振动频率只能是最低频率的整数倍。对于一端完全自由的弦，结论也成立。固定端意味着终点的速度为零，而自由端意味着终点的加速度为零。两者的区别无非是傅立叶分解应该写什么。