一阶行列式怎么计算相乘(一阶行列式如何计算)

是谁呀？

呼叫雅各比。

今天哮天整理留言的时候，看到一位模特朋友留下了这样的留言:

恭喜你！你被打败了...哦不，你的愿望实现了。

但在此之前，哮天需要介绍一下他的巴巴-雅可比先生，他和欧拉一样多产，被广泛认为是历史上最有能力的三位数学家之一。

卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅各比

1804年12月10日，卡尔·雅各比出生在普鲁士一个富裕的犹太家庭，成为家中第二个孩子。他的父亲西蒙·雅各比是一位成功的银行家。

雅各比是个聪明的男孩。他小时候跟叔叔学过古典语言和数学。12岁时，他进入波茨坦大学预科。他不到半年就跳到了高年级，甚至自学了欧拉的《无穷分析导论》后还尝试解五次方程。(每当这种情况发生时，哮天就非常怀疑数学家的成长套路都是一个模子印出来的。)

当时大学不收16岁以下的学生，于是雅各比在1821年被柏林大学录取。

雅可比对哲学、数学等领域兴趣浓厚，磨刀霍霍向“全才”发起进攻。但是数学的磁场太强了，最后他义无反顾的转向了数学。(据说正是因为数学最难，雅各比才选择了它的╮ (╯▽╰) ╭)

这项投资无疑为数学史增添了浓墨重彩的一笔。

雅各比不仅有天赋，而且非常勤奋。他一直孜孜不倦地进行科研和教学，这使他年纪轻轻就获得了许多荣誉。

1825年，获得柏林大学理学博士学位，并留校任教；1827年，被选为柏林科学院院士（同时是伦敦皇家学会会员，巴黎等科学院院士）；1829年，成为哥尼斯堡大学数学系的终身教授，并担任主席15年；

19世纪数学，主要研究领域是简单复变函数，椭圆函数是其中一颗螺丝钉。1827年，雅各比迷上了它。经过两年的努力，他发表了自己的第一部力作《椭圆函数理论的新基础》(椭圆函数领域的关键性著作)，使当时的研究有了质的飞跃。

雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数，因此被公认为椭圆函数理论独立奠基人。而该理论的出现不仅引进了θ函数，还为推动复变函数理论的发展和n个变量的阿贝尔函数论的产生带来了不可磨灭的影响。

椭圆函数，来自:维基百科

然后，在一个领域被卡住，远远不能满足不断膨胀的欲望后，雅可比开始疯狂地横扫各个分支，甚至物理分支。

得益于他强大的计算天赋，他终于在力学和数学物理的应用领域取得了一些成就。

用于表述经典力学的哈密顿-雅可比理论是唯一可用于量子力学的理论；第一个将椭圆函数理论应用于数论研究的人；是决定因素理论的早期创始人之一；... ...

扫荡过程中，行列式理论也成了他的囊中之物。他在著名论文《论行列式的形成和性质》中介绍的函数行列式，就是著名的“雅可比行列式”。

本文标志着行列式系统理论的完成。本文不仅得到了函数行列式的求导公式，而且得到了函数间相关的条件是雅可比行列式是否为零，并给出了这个行列式的乘积定理。

若雅可比行列式恒等于零，函数组（u1,…,un）是函数相关。

可比行列式在多重积分的变量代换中起着决定性的作用，必然会引起人们的全方位关注。

雅各比·巴巴:那就是我儿子的样子。

可以看出，雅可比行列式的识别度很高，比常规行列式更有特色，其构成元素都是偏导数。

一个多变量函数的偏导数是指它关于其中一个变量的导数，而其他变量保持恒定。比如：若函数f(x,y)保持x值不变，改变y值可得到对应的f0(x,y+△y)。当△x→0时，f0-f/△y的极限存在，则可以称该比值为f对y的偏导数，记作：∂f/∂y；同理，保持y值不变情况下的偏导数，记作：∂f/∂x。

众所周知，矩阵和行列式是一对经常结伴出行的好朋友。因此，在介绍雅可比行列式的定义之前，哮天打算先给大家讲讲雅可比矩阵。

我们假设f: Rn→Rm是一个从欧式N维空变换到欧式M维空的函数，由M个实函数组成:y1(x1，…，xn)，…，ym(x1，…，xn)。如果这个函数的偏导数(如果有的话)形成一个M行N列的矩阵，那么这个矩阵叫做雅可比矩阵:

当m=n时，雅可比矩阵适当变成方阵，方阵的行列式可称为雅可比行列式。

雅可比矩阵的重要性在于它能反映一个可微方程对给定点(设该点为A点)的最佳线性逼近，所以雅可比行列式可用于求解微分方程在A点的近似解。

如下图所示，映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形，其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似，而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。

图一，源自： Wikipedia

简单来说，在N维欧几里德空空间中，行列式描述了一个线性变换对“体积”的影响，代表了变换后的缩放比例，雅可比行列式也不例外。

就图形而言，图形中的映射不是非线性的，但其无穷小变换实际上可以看作线性的，所以雅可比行列式的实际意义是坐标系变换后单位无穷小的比值或倍数。

现在我们以二次元空房间为例，看看是怎么回事。

设f=(x,y)，其中x=x(u,v)，y=y(u,v)，可求得偏导数分别为：

那么函数的雅可比矩阵为：

那么，雅可比行列式就是：

还是看图一，假设图中正方形所在的坐标系是uv坐标系，而平行四边形所在的坐标系是xy坐标系，平行四边形的面积微分用dB表示，可得：

今天说的雅可比行列式只是一阶行列式。可以考虑一下雅可比行列式的二阶和三阶形式怎么表达。

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