同弧所对的圆周角相等怎么证明(同弧所对的圆周角相等这句话对吗?)

测试地点分析:

求弦长，角度，弦中心距等。利用弧、弦、圆心角的关系(大多出现在选填题空)

用圆角定理及其推论或圆的内接四边形的知识求线段的直径、角度、长度并证明一些结论(多在选择、填空、解题、证明题中)。

一、圆心角、圆周角的概念

1.圆心角:顶点在圆上的角。

2.圆周角:顶点在圆上，两边与圆相交的角。

二、弧、弦、圆心角的关系

在同一个圆或等圆内，如果两个圆心角、两个圆弧和两个弦的一组相等，那么对应的其他组也相等。

三、圆周角定理

1.定理:在同一圆或等圆内，同一圆弧或等弧的圆周角相等，都等于该圆弧圆心角的一半。

2.推理

(1)半圆的圆角(或直径)是直角，圆角90度的弦是直径。

(2)在同一个或相等的圆内，如果两个圆周角相等，则它们所对的弧一定相等。

四、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补

五、常考的几类例题1.弧、弦、圆心角的关系

示例1

如图，AB是O的直径，C. D. E都是O上的点，那么∠1+∠2=___。

分析:

首先连接OE，从同圆或等圆内的同弧或等弧的圆角等于该弧圆心角的一半，可以得到∠1=1/2∠AOE，∠2=1/2∠BOE，可以得到∠1+∠2。

求解过程:

连接OE，

∠∠1 = 1/2∠AOE∠2 = 1/2∠BOE，

∴∠1+∠2=1/2∠aoe+1/2∠boe=1/2(∠aoe+∠boe)=12×180∘=90∘.

所以答案是:90。

圆周角定理及其推论

示例2

如图，已知in ⊙O，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线在d处与⊙O相交，求线段BC，AD，BD的长度。

分析:

在⊙O中，直径AB的长度为10cm，弦AC=6cm。利用勾股定理，可以求出BC的长度，而⊙ ∠ACB的平分线CD在D点与⊙O相交，这样△ABD就是等腰直角三角形，那么就可以求出AD和BD的长度。

求解过程:

∵AB是直径⊙O，

∴∠ACB=∠ADB=90∘，

AB = 10cm，AC=6cm，

∴BC = ab的平方减去AC的平方=8(厘米)，

∵≈ACB的平分线CD在D点与⊙O相交，

∴ADˆ=BDˆ，

∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD=45∘，

∴ AD = BD = ABCOS45 = 10× 2乘以根号2=5乘以根号2(厘米)。

圆内接四边形

示例3

如图:四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E点在弦DC的延长线上。如果∠ BOD = 120，∠BCE=___。

分析:

先根据圆弧的圆周角等于其圆心角度数的一半，求出∠a = 60°，再根据圆的内接四边形的外角等于其内对角线，就可以求解了。

求解过程:

∵∠BOD=120∘，

∴∠A=12∠BOD=60∘，

且∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠BCD=180∘，

∴∠BCD=180∘−∠A=180∘−60∘=120∘，

∵∠BCD+∠BCE=180∘，

∴∠BCE=180∘−∠BCD=60∘.

所以答案是:60。

与圆周角有关的多解问题

实例4

一个圆被一根线分成两个弧的比例是1:2。求这根弦所对的圆周角的度数。

回答:

∫一根弦把圆分成1:2的两部分。

∴整个圆被分成4等份，即下弧度数为360÷ 3 = 120，上弧度数为240。

下弧和上弧的∴圆周角分别为60°和120°。

也就是说，该弦所对的两个圆周角的度数分别为60°和120°。

所以答案是:60或者120。

六、总结：

1.在应用弧、弦、圆心角关系的定理和推论时，首先要找出哪一组量相等，然后只要在证明它们相等的充分量之外再找一组量即可。通常辅助线是半径和圆心到弦的距离，常结合竖径定理。

2.在同一圆或等圆内，同一圆弧或等弧的圆周角相等，均等于该圆弧圆心角的一半。在同一个圆内，利用圆周角定理进行角度换算非常方便，比以往任何时候都容易，因为有了圆周角，圆周角就可以换算成同一个圆内的“任意位置”，这就是圆周角的特殊性。

3.近几年中考经常考查圆内接四边形的知识，一般都与角度有关。掌握内接圆四边形的角之间的关系是关键，包括:对角互补；任何外角等于其相邻内角的对角线，圆内接四边形简称外角等于其内对角线。

4.求圆周角时注意分类讨论。一般求某根弦的圆周角有两种情况。这两个圆周角是互补的。