奇函数乘奇函数(怎么一眼看出函数的奇偶性)

1.函数奇偶性的定义

对于函数定义域中的所有x，若f(一个x)=f(x)，则函数为偶数。而偶函数的图像关于y轴对称；如果f (x)= f (x)，那么这个函数就是奇函数。奇函数的图像关于原点是对称的。

二、函数的奇偶性与单调性的关系

函数的奇偶性不同于单调性，单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的全局性质。单调性是比较区间D内f(x1)和f(X2)的大小，是函数的增减性质；而奇偶性就是找到f(一个X)和f(X)，f(一个X)之间的关系。

对称区间上奇函数的单调性相同；对称区间上偶函数的单调性是相反的。

第三，关于函数奇偶性的结论

1.如果函数的定义域关于原点对称，且①f(X)= f(x)，则f(X)称为奇函数；

②f(x)=f(x)，则f(x)称为偶函数；

③f(x)= f (ⅹ)，f (x) = f (x)，这意味着f(x)既是奇函数又是偶函数；

④f(x)≠f(x)且f(x)≠f(X)，使f(X)为非奇非偶函数；

2.如果函数的定义域关于原点不是对称的，则该函数是非奇非偶函数。

错误点:研究函数的奇偶性，不考虑函数的定义域。如果f (x)= x (x ∈ (one 1，1)，f (one x) = (one x) = x = f (x)，则∴ f (x)是一个偶函数。显然，对于x=1，上述公式不成立。

问题1:判断函数的奇偶性

1.分段函数的奇偶性判断

判断函数y=

X 2X+5，ⅹ >: o

o，X=o

X-2X-5，x < 0

的平价。

解:根据定义，函数的定义域为R，关于原点对称。

当x >: 0时，一个x

当x : 0，f(a x)=(a x)a 2(a x)+5 = x+2x+5 = a f(x)；

当x=0时，一个x=0，f(一个0)=f(0)=0，

综上所述，函数是奇函数。

纠错:分段函数必须在每一段讨论。而且宇称一致。当然前提是定义域关于原点对称。

2.用参数判断函数的奇偶性。

例:判断函数f(X)=|x+a| one |X-a|(a∈R)的奇偶性。

解:函数的定义域为(一个∞，+∞)，关于原点对称。

f(一个x)=|一个X+a丨-一个x-一个a丨=丨X+a丨= one (|X+a| one丨x |) =一个f(x

错误:上面的解决方案看似没有错误，但仔细分析后发现了问题。

当a=0，f(x)=0，f(一个x)=f(x)=一个f(X)=0时，函数既是奇函数又是偶函数。

正确的解决方法:1。看领域；

2.当a≠0时，如上，函数为奇函数；

3.当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数。

综上所述:当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数；

当a≠0时，该函数为奇函数。

问题2:用奇偶性求函数的解析式。

例:①已知f(X)是r上的偶函数，当x : 0时，f(X)= 1

②若f(x)是R上的奇函数，当×>时；0，f(X)= 2x+3x+1，求f(X)的解析式。

〖分析〗从你想要的开始，把你想要的问题变成已知问题。

①求解x >: 0，然后是x

②当x : 0时，f (a X)= a 2 (a x)+3 (a x)+1 = a 2x a 3X+1，且由于f (ⅹ)是奇函数，f(X)= a f (a x)，ⅹ f (ⅹ) = 2x+3x a。

而f(x)是r上的奇函数，∴f (a 0)=f(0)=0，

∴f(x)的解析表达式是f(x)= 1

1 2x+3x+1，(x >: 0)

0,(Ⅹ=0)

2X +3X-1。

利用奇偶性寻找分辨函数纠错；

1.求哪个区间的解析式，设X在哪个区间；

2.将所需区间一比一相乘并转换为已知区间，代入解析式；

3.如果是偶函数，那么f(x)=f(一个x)=…

如果是奇函数，那么f(x)= f (x))=…

第三，奇偶性与单调性的密切关系。

例:设f(x)是R上的偶函数，在区间(one ∞，0)内递增，有f (2a+a+1) < F (3a-2a+1)，求a的值域。

【解析】用“f”解不等式，必须利用函数的单调性。2a+a+1 = 2 (a+1/4)+7/8 >: 0，3a-2a+1=3(a-1/3) 2+2/3 >: 0，因为f(X)是R上的偶函数，在(一个∞，0)上增加，所以f(X)在(0，+∞)上减少，所以我们用单调性去掉f，解普通不等式。

解法:∫2a+a+1 = 2(a+1/4)+7/8 >；0

3a 2a+1=3(a 1/3)+2/3 >: 0

而且因为f(X)是一个偶函数，所以当x >: 0，1 X时，它在(1∞，0)上增加

∴2a+a+1 & gt；3a 2a+1

获取0 < a & lt三

0&lt为，a的取值范围为{ a0 < a & lt3}。

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