怎么区分优弧和劣弧及怎么表示(如何表示优弧)

测地线是微分几何中最重要、最基本的概念之一，也是几何学最基本的研究对象。测地线的研究不仅推动了几何学的发展，实际上许多物理规律和现象都可以用测地线的相关结论来合理解释。那么，什么是测地线，它有什么性质？

测地线(Geodesic)一开始并不是几何学的学科，而是来源于大地测量学，从它的名字我们大概就能看出来。数学大王子高斯曾经主持过一个庞大的工程，那就是为汉诺威王国绘制详细的地图。为此，他花了大量时间进行实地测量，然后用最小二乘法等数学方法对相关数据进行处理，大大提高了地图的精度。在这个过程中，测地线就是高斯经常遇到的数学对象。

先说最简单的欧式空房间。这种情况下的测地线有一个非常好的几何描述，就是它是连接两点的最短路径，也就是我们非常熟悉的直线段。从严格的数学角度来看，这正是直线段的定义。欧式空房间的测地线确实平淡无奇，没什么可研究的，但是当空房间的形状发生变化时，情况就不那么明显了。

比如一个球面，我想很多人不知道球面上的测地线是什么样子的，即使知道，也不一定知道背后严格的数学证明。可能很容易猜测连接球体两点的最短路径位于通过球体中心的大圆上，但要非常严格地解释这一点并不容易。而且，为了更好地得到测地线信息，我们必须有更一般的理论来分析更复杂的空空间。

为此，我们应该首先简要介绍一下曲线的测地曲率。测地曲率有一个非常形象的解释:

对于曲面S中的曲线C，它会在曲面S的点P处的切平面上产生一条投影曲线，原曲线C的测地曲率等于投影曲线的相对曲率。

利用测地曲率，我们可以得到曲面上测地线的定义:

曲面上测地曲率常数为0的曲线成为测地线。

但是这样定义的曲线还会是连接任意两点的最短曲线吗？实际上，测地线包含了所有曲面上最短的曲线，它往往会超出这个范围。也就是说最短的曲线一定是测地线，但测地线不一定是最短的。之所以会出现这种现象，是因为我们只用曲率，或者说曲面的度量来定义测地线，而最短曲线并不像高斯曲率那样是一个内在的几何量，所以不能保证最短曲线。以球体的大圆为例。对于大弧上两个很近的点，连接它们的上弧和下弧都是测地线，但显然只有一个是最短的。

进一步的研究表明:

测地线必须是局部最短的！局部意味着测地线上的两点足够接近。例如，如果球面圆上的两点非常接近，可以用一条较短的弧连接。

只有系统地建立了测地线理论，才能对其本质有更深刻的认识。显然，用微分几何的方法，很容易找到一个曲面上任意两点之间的最短路径。对于那些不规则或者不可想象的曲面，测地线很难用空算出来，比如双曲面，抛物面。

对于曲面来说，还有一个关键问题，就是曲面上任意两点是否由最短曲线连接？很明显，答案是否定的，比如去掉球面圆上的一个点，那么大圆上在这个点前后靠近的两个点就不能得到最短路径。这样的曲面称为不完全曲面。相反，如果任意两点由最短测地线连接，则称为完全曲面。完备空区间是微分几何中一个非常重要的研究对象，判断一个空区间是否完备也是一个重要的研究课题。

大地线这种具有极小性质的数学对象，从一开始就是微积分的重要研究对象，而微积分的目的就是要从一大类函数空中找到具有极值性质的那一个，比如著名的最速下降问题。牛顿首先利用微积分的思想证明了此时物体的下降轨迹是一条悬链线。对于曲面上的两点，往往有无数条曲线将它们连接起来。寻找一条非常短的测地线可以转化为一个分叉问题。这时就有了弧长的第一个变分公式。就像微积分中研究函数极值一样，零的一阶导数一般只是函数取极值的充要条件。我们需要计算它的Hesse矩阵来判断函数是否取极值。在这个思想的驱动下，我们得到了弧长的第二个公式。

测地线的重要性体现在它不仅是弧长的极值点，在很多情况下也是能量的极值点，这样我们就可以解释为什么光在我们居住的均匀空的房间里沿直线传播，这个时候它所携带的能量最小，因而也更稳定，这也符合物理学中的最小作用量原理。牛顿第一定律描述了同样的原理。如果一个物体不受外力的影响，并且为了使其能量保持最小，它就只能静止不动，或者沿直线匀速运动。可以说测地线是二分法和最小作用原理的极好例子。

所以我们可以想象一下，如果宇宙的某个地方存在一个类似球体的二维空室，那么那里的“匀速直线运动”实际上是沿着一个大圆运动的。

对于高维欧氏空空间，测地线的性质也将保持正确，而且自黎曼推广高斯的内蕴几何，创立黎曼几何以来，测地线的概念不仅得到了相应的提升，而且在新几何中起到了关键作用。与此同时，测地线的概念已经在高维中普及。测地线是弧长和能量变化的一维解，如果考虑高维解，那么就有了极小曲面的概念。其实这也可以解释为什么我们吹的泡泡是球形的，因为球面是典型的极小曲面，携带的能量最少，更稳定。同时，在给定的条件下，极小曲面也是面积最小的曲面，类似于测地线。当然，这些概念在数学上有着更为笼统和精确的定义，往往不局限于其物理意义，但我们在这里就不讨论了。