马格努斯效应与伯努利原理(马格努斯效应的原理)

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关于“空在空中自由释放的篮球可以向上运动吗*？”对…的讨论

*注:这里和下面所谓的“向上运动”并不是特指篮球的“垂直向上运动”，而是指运动过程中篮球速度的垂直向上速度分量。

前言

在最近结束的2020年北京高考中，物理卷第14题以高空释放旋转篮球的生活场景为素材，通过提供新的信息(空空气阻力和偏转力的方向和大小)，结合已有的知识和方法(机械能转换、力与运动的关系、受力分析)对空中的篮球运动进行判断和推测。原问题如下:

14.在无风环境下，有人在高处释放一个静止的篮球，篮球垂直下落；如果篮球先以一定角速度(如图)绕球心水平轴旋转，然后放开，篮球在下落过程中会偏离垂直方向。原因是旋转的篮球不仅受到重力，还受到空空气施加的阻力。

f1和偏转力f2。这两个力与篮球速度v的关系大致为：f1=k1v2，方向与篮球运动方向相反；f2=k2v，方向与篮球运动方向垂直。下列说法正确的是A.k1，k2是与篮球旋转角速度无关的常数。

B.篮球可以恢复到原来的高度，其角速度与释放时相同。

C.当一个人站得足够高时，篮球落地前向上运动是有可能的。

D.释放条件合适，篮球在空中继续水平直线运动是可能的

这个问题描述的现象如图1所示。首先，对于题目中的选项A，从题目信息可以知道，不旋转的篮球不会受到垂直于运动方向的力的偏转，所以f2的产生与球的旋转密切相关。所以k2与角速度有关，但力的本质原因及其与角速度的具体关系，不能仅从题目信息中得出。

图1旋转篮球在空空中下落的动作。

题目中的选项B考察了空空气阻力确实做功时，学生对能量转换过程的理解。因为机械能的减少，篮球无法回到最初的高度。(本文2.1节的研究表明，如果忽略空空气阻力的影响，篮球会做周期性运动，可以回到初始位置。空空气阻力矩对其转动的影响见2.5节)。

对于问题中选项C提到的篮球向上运动的可能性，如果对这种现象进行定性分析，从受力分析可以看出，随着速度的增加，f1和f2合力对篮球产生的垂直分力可能有较大的比重，因此篮球的垂直速度分力可以降低为零或变为垂直向上，因此篮球可能向上运动。图2描绘了自由释放的旋转篮球在给定转速下的运动轨迹。可以看到，随着转速的增加，篮球相同的垂直位移(Y轴)对应的水平(X轴)位移更大，会在垂直方向往复运动。绘制该图的理论讨论请参见2.3节。

图2不同转速下篮球轨迹的变化

(理论计算图像)

至于选项D中提到的“连续的水平直线运动”，如果篮球的速度变成水平，那么空的空气阻力会使篮球的速度降低，篮球所受的偏转力f2会变小，因此无法使f2保持与重力同方向，因此无法在空中保持水平直线运动。

可以看出，高考中这个问题的设置很好地考察了学生的科学思维，对学生从物理的角度认识和理解生命现象起到了很好的引导作用。同时，这种现象并不仅限于篮球，在其他任何涉及球类运动的运动中都很常见，比如香蕉球、电梯球等。在足球中，以及乒乓球中的各种旋转技术[2，3]。为了进一步探究这一现象背后的物理原理，本文将从以下几个方面进行探讨:

旋转球形物体的偏转力是如何产生的？和物体的角速度有什么关系？

哪些因素会影响球体的运动轨迹，如何影响？

为了实现题目选项C中提到的球体向上运动，除了“足够高的释放”还需要满足其他条件吗？

虽然篮球在空中不可能保持水平直线运动，但是它在空中的运动最终会有像雨滴的终点速度那样稳定的运动状态吗？

1马格努斯效应及其简要证明

1672年，在剑桥观看网球比赛时，牛顿观察到上旋球会使球下降得更快。相反，向下旋转球会使球向上移动并稍微漂移一小段距离。1852年，德国物理学家海因里希·马格纳斯(Heinrich Magnus)提出，当旋转物体的角速度矢量与其质心的速度矢量不重合时，会在垂直于两个矢量所在平面的方向上产生一个侧向力，使物体的飞行轨迹发生偏转，即著名的马格纳斯效应[1]。可见马格努斯效应产生的侧向力就是篮球问题中的偏转力。

图3 马格努斯效应示意图图3马格努斯效应示意图

马格努斯效应可以用伯努利原理来解释。如图3所示，考虑一个半径为R的球相对于流体以速度V向右运动，即流体相对于球以速度V向左运动，当球以角速度ω顺时针旋转时，其上下表面的速度方向不同。由于球的旋转及其表面与流体之间的粘性，其下端的流体会受到同方向运动的球的阻力而加速；相反，由于球反向旋转的阻碍，球顶部流体的速度会降低。因此，由于流速差而形成上下表面的压力差，从而产生非零的压力合力。这个力垂直于球的转速和相对流体的运动方向。力的方向是从流体缓慢流过球表面的一端到流体快速流动的一端。简单地说，球的上端和下端的流体速度vu和vd可以表示为

(1)

利用伯努利方程，忽略上下表面之间的压差，由于势能的变化，我们有

(2)

这里pu和pd是球上下表面的压力，ρ是流体密度。联立(1-2)公式，可以得到

(3)

很明显，这个压差与转速成正比，当转速为0时，压差消失。再者，从量纲分析的角度来看，物体旋转产生的压力差作用在物体表面所产生的压力合力为

(4)

其中s是球的横截面积。上式中力的具体形式可以进一步写成F = Cωr3v，其中C为比例系数，可以通过球表面的面积划分得到[4-6]。需要注意的是，常系数c还取决于旋转物体表面流体的流动状态，所以不同形状、不同表面粗糙度的物体，系数c也不同，这里不讨论求解过程。然而，该系数的具体值不影响由公式(4)获得的力对旋转速度ω和运动速度v的依赖性

由公式(4)得到的力是马格努斯力，可以缩写为

(5)

其中，比例系数

(6)

正比于球的转速，空气体的密度和体积。从这个推导可以看出，马格努斯效应是伯努利原理的直接结果，与相对流场中物体的转动和平移密切相关。一般来说，物体旋转产生的垂直于物体平移方向的力，会使物体的运动轨迹比没有旋转时更复杂，也会有更丰富有趣的运动特征和轨迹。如图4所示，水平投掷的旋转圆柱体会向上运动，而不是通常的平抛运动轨迹，这说明了马格努斯效应对旋转物体运动轨迹的影响。

图4空中旋转纸筒的飞行轨迹

可以看出，只要圆柱体能保持旋转，螺旋桨带动其向前提供平移速度，就可以用来制造飞机，如图5所示。

图5马格努斯效应制作的飞机模型。

此外，马格努斯效应广泛应用于船舶的推进系统。如图6所示，“维京优雅号”是一艘通过安装圆柱形旋翼帆，利用马格努斯力推进的客船。它利用发动机带动转鼓旋转，使上风侧表面气压增大，下风侧表面气压减小，从而产生垂直于气流方向的横向力。通过调整滚筒的转速和方向，可以调整风帆的大小和方向，从而为船只提供向前的推力[7]。总的来说，在节约燃料和增加环境排放压力的情况下，旋翼辅助导航技术具有一定的应用前景。

图6维京优雅号，世界上第一艘采用旋翼帆技术的客船

02旋转物体的运动轨迹:

马格努斯效应的影响

在下面的研究中，我们具体考虑一个没有质心初速度，在空气体中自由释放后有稳定旋转速度的球体的运动。在运动过程中，质心的平动速度为V，球体绕质心的转动速度为ω。

图7 空飞行球形物体受力示意图

如图7所示，为简单起见，我们考虑一个半径为R，密度为ρb，体积为V=4πr3/3的旋转球体在空内运动。在垂直方向，球受到向下的重力mg和向上的浮力ρagV。这两个力是常数，与球的运动状态无关，其中ρa为空空气密度。此外，球受到与运动方向相反的空空气阻力f1=k1 v2，垂直于运动方向的马格努斯效应引起的压力差引起的马格努斯力f=2 k2 v。考虑球体在x-y平面上的运动，可以列出以下两个运动方程

(7)

(8)

其中θ是球运动方向和X轴之间的角度，满足

(9)

联立(7-9)公式，可以得到

(10)

(11)

对于球体，空空气阻力系数和马格努斯力系数分别为

(12)

这里我们取公式(6)中的C=π2/2[4]。利用上述关系和球的质量m =ρbV = 4ρρbr3/3，公式(10-11)可简化为

(13)

(14)

其中的系数

(15)

这里

是空气体与球体的密度比。其实在球运动的过程中，空气体会给球一个相对于质心的力矩，这个力矩会影响球的转速，进而改变系数。

并且影响球的质心的运动。为简单起见，在本文2.1-2.4节的讨论中，我们只关注球的质心运动，不考虑球的转速的变化，即把球的转速看成某个值。考虑到由于空空气阻力矩引起的衰减，旋转速度对球轨迹的影响将在第2.5节中给出。

显然，根据公式(15)，如果

，那么

,

，以及

此时球体的运动方程(13-14)近似于自由落体，空气阻力空和马格努斯效应不明显。所以，要想清楚地看到马格努斯效应或者空空气阻力的效应，就需要球体的密度不要太大，这也是为什么演示马格努斯效应的实验通常使用空密度更小的心球或者气球。接下来，我们先讨论两种极端情况下的运动。

2.1马格努斯力系数k2远大于空空气阻力系数k1。

当k2 >:& gt；当k1，即球的转速ω很大时，可以忽略空空气阻力的影响，只考虑马格努斯效应。此外，球的运动方程可以简化为

(16)

(17)

通过求解这组微分方程，可以满足球的运动轨迹。

(18)

球的轨迹由Matlab制作如下:

图8无空空气阻力的旋转球体在垂直方向自由释放的运动。

图8表明，当空的空气阻力与马格努斯力相比可以忽略不计时，球的能量在运动过程中几乎没有耗散，它在x-y平面内做周期性运动。从等式(15)可以看出，在这种情况下，球上下摆动的频率为

也就是球旋转越快，球相对于空气体的密度越小，这种振荡运动就越快。

2.2长时间后的稳定运动:匀速直线运动。

观察图7中的受力分析，不难发现球在运动的过程中可能有一个稳定的运动:即在力的平衡下做匀速直线运动。在这种情况下，球的力平衡方程是

(19)

(20)

这里θs和vs分别代表力平衡状态下，球的飞行方向与水平面的夹角和质心的移动速度。结合上述方程可以求解

(21)

(22)

其中的系数

(23)

我们把力平衡状态下球速与水平面的夹角θs和运动速度vs分别称为终止角和终止速度，在图9中给出了θs和vs随转速增加的变化趋势(根据篮球参数计算，半径r=0.123m，质量m=0.6kg，空空气密度ρa=1.29kg/m3，重力加速度g =

图9 空空气中旋转球体的终止角θs和终止速度vs随球体转速的变化

从图9可以看出，随着转速的增加，球的结束角和结束速度都减小，且结束角随速度的增加减小得更快。这说明当球的旋转速度在增加时，球在释放后的最终稳态运动接近于水平方向的一个漂移运动(与水平方向的夹角很小)，所以它在水平方向上可以有很大的移动距离。

特别是当球的转速ω=0时，球的运动不会发生偏转，最终会在空空气阻力的作用下达到匀速状态。此时，μ→0，根据公式(15)，终止角θs=π/2，即垂直下落；此外，根据公式(16)，关闭速度为

(24)

这与直接计算空空气阻力和球体在重力作用下的终点速度是一致的[8]。

2.3正常情况下的运动轨迹

除了上面讨论的两种特殊情况，球的运动方程(13-14)没有一般的解析解。用Matlab求解不同转速下的方程(13-14)，我们得到了图10中一些具有不同特性的轨迹。图10计算中使用的参数与图9中的参数一致。

2.3.1没有释放篮球的初始速度水平

←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→

←c. ω=20π/s d.ω=30π/s→←c. ω=20π/s d.ω=30π/s→

图10空空中无水平初速度自由释放旋转篮球的轨迹

在图10中，蓝色实线是用Matlab数值求解球体动力学方程(13-14)得到的解，红色虚线是2.1节方程(18)给出的不考虑空空气阻力的解析解。球的转速在图10(a-d)中分别为ω=10π/s，17π/s，20π/s，30π/s。可以看到，在刚刚放出的一个短范围内空的空气阻力较小，蓝线几乎与红色虚线重合。随着移动速度的增加空的空气阻力因为与二次速度成正比而明显增加，使得蓝线偏离红线。

此外，通过比较图10c和图10d，可以看出，旋转速度越高，球体在垂直方向上下移动得越多。图10还显示，在运动结束时，球的轨迹趋于直线，这与2.2节给出的球的力平衡解是一致的。这时候球会匀速直线运动，直到落地。

同时注意，随着球转速的增加，球在下落的过程中可能会反向上升，如图10c、图10d所示，这就是本文开头提到的北京高考物理卷第14题C项给出的运动情景。分析球上升运动的条件，如图11所示。

←a. 运动轨迹 b. 竖直方向运动速度→← A .轨迹b .垂直运动的速度→

图11无水平初速度上升的自由释放旋转篮球的临界条件空

在图11中，我们画出了旋转速度分别为9r/s和8r/s的篮球的运动轨迹(A)和垂直运动速度随时间的变化(B)。从运动轨迹可以看出，篮球的临界速度在8r/s到9r/s之间，从图11b可以看出，转速为9R/s的篮球在投掷后5s左右显示Y轴正方向的速度，即向上运动，而转速为8r/s的篮球没有显示vy >:0的部分。同时，看图10a，可以发现篮球向上运动的临界点对应的垂直位移在15到20米之间。因此，要实现文章开头题目中提到的选项C的场景，需要将篮球抛离地面至少15m的高度，同时转速要大于8r/s。

2.3.2以一定的初速度释放篮球。

图12示出了自由释放的vx(0)=0m/s(蓝色实线)和以一定水平的初始速度vx(0)=20m/s(橙色实线)投掷的旋转球的轨迹的比较。在图12(a-d)中，球的转速分别设定为ω=10π/s、17π/s、30π/s和80π/s。

←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→←a. ω=10π/s b. ω=17π/s→

←c. ω=30π/s d. ω=80π/s→←c. ω=30π/s d. ω=80π/s→

图12空空中水平投掷旋转篮球的轨迹

从图12中可以看出，当初始角速度相同时，与没有水平初速度的情况相比(比较图12b中的橙色线和蓝色线)，当篮球以一定的水平初速度被释放时，垂直方向上的马格努斯力最初将大于球的重力。这时球开始“抬头”，也就是向上运动，运动到最高点后就会开始下落。而当转速增加时，球的运动就变得复杂了。这时，由于马格努斯力和空空气阻力的共同作用，小球会在空中上下几次，甚至像螺旋一样运动，如图12c和12d所示。

2.4圆周运动和螺旋运动

值得一提的是，在旋转球的所有轨迹中，都会有圆周运动和螺旋运动。当抛出的球的密度等于空气体，即ρa=ρb时，球的垂直重力和浮力平衡，即' =0。此时，球运动方程(13-14)表示为

(25)

(26)

再者，如果忽略空的空气阻力，球只会受到马格努斯力的作用，始终垂直于速度方向。不难推断，在这种情况下，球在马格努斯力的作用下会做匀速圆周运动，如图13所示。

图13有旋转的球体只在马格努斯力的作用下做匀速圆周运动。

利用马格努斯力提供向心力，很好写。

(27)

r是球做圆周运动的半径，求出解。

(28)

这是一个有趣的结果。这时，马格努斯的力会使这样一个球体产生转动

(29)

做圆周运动。这个结果可以用水平面上的旋转球体进行实验测试。这种运动状态类似于磁场中的带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。

另一方面，如果考虑到空的空气阻力，球体在做圆周运动的同时，速度会减小，然后圆的半径会减小，所以会呈现螺旋轨迹。在图14中，通过数值求解方程(25-26)，我们分别示出了当忽略空的空气阻力时。

考虑空空气阻力的旋转球的运动。图中，计算中用到的球的转速为ω=10π/s，球的初始水平投掷速度分别为vx(0)=10m/s(蓝色实线)和vx(0)=20m/s(橙色实线)。

←a. 无空气阻力的圆周运动 ← A .无空空气阻力的圆周运动

B.考虑空空气阻力的螺旋运动→

图14垂直方向(Y方向)的力为0时旋转球的运动轨迹

看图14(a)可以看出，当忽略空的空气阻力时，球确实做圆周运动，圆周运动的半径与弹射速度成正比，与公式(28)的理论结果一致。图14(b)表明，考虑空的空气阻力后，球的轨迹是一种螺旋线，螺旋线轨迹的大小随着投掷速度的增加而增加。

2.5 空空气阻力矩的影响

在前面的讨论中，我们假设球的转速是恒定的，那么球上的马格努斯力的系数k2也是恒定的，所以球上的马格努斯力只会因球的质心运动速度的变化而变化。但在实际抛球的情况下，球的旋转速度会因为空空气阻力矩的存在而衰减，通过影响马格努斯力系数k2来影响球的运动，从而改变球的轨迹。一般来说，在空气体中被旋转物体阻挡的力矩与物体的转速成正相关。最常用的阻力矩模型一般认为阻力矩与转速的一次或二次方成正比，即

(30)

其中δ=1，2，k3为空空气阻力矩的系数。把上面的方程和方程(13-14)结合起来，我们就可以求解速度衰减情况下球的运动。相应的运动轨迹如图15所示，球的初速度设为ω = 40π/s .

←a. 空气阻力矩正比于转速←a. 空空气阻力矩与转速成正比。

B.空空气阻力矩与转速的平方成正比→

图15 空空气阻力矩对自由释放旋转球体轨迹的影响

从图15可以看出，考虑阻力矩后，由于马格努斯效应随着转速的衰减而减弱，球在垂直方向的反向运动次数会减少。此外，通过比较图15b和图15a，可以看出，当阻力矩与转速的平方成比例时，垂直振荡运动的衰减加剧得更快。同时，图中的轨迹也表明，在考虑了转速衰减后，球在相同垂直位移下对应的侧向移动量随着转速衰减程度的增大而减小。

03

结论

总的来说，北京2020高考物理卷第14题是从高空释放旋转篮球的生活场景出发的。通过给予新知识，考察考生结合已有知识，学会应用新知识解释物理现象和探索物理问题的能力。本文进一步分析了本课题所涉及的马格努斯效应，具体讨论了空空气中旋转篮球在不同条件下释放后的运动轨迹，得出以下结论:

(1)旋转球体在空气体中的偏转力是马格努斯力，可以用伯努利原理解释和推导，其具体形式为F = Cωr3v，正比于物体的转速、相对流体的速度和物体的体积。马格努斯效应可以用来制造具有特定结构的飞行器，也可以作为船舶上的推进装置，节省能源消耗。

(2)当释放高度合适时，当空的空气阻力与马格努斯力相比可以忽略不计时，旋转的球会在平面内作上下往复的周期性运动；

(3)当释放高度合适时，旋转的球在运动过程中最终会匀速直线运动。随着转速的增加，球体在匀速直线运动中的终止角和终止速度都减小，且终止角随速度的增加减小得更快。

(4)根据数值计算结果，当释放高度至少为15m，球的初转速大于8r/s时，旋转球在运动过程中会向上运动；

(5)当旋转球以较高的初始水平速度抛出时，球会先向上运动；

(6)当抛出的球的密度等于空气体的密度，忽略空气体的阻力时，旋转的球会做圆周运动。当计算空的空气阻力时，球的轨迹是一种螺旋线；

(7)如果考虑空空气阻力矩对释放球旋转的减速作用，则球在马格努斯力作用下的侧向位移会减小。

参考

[1]雷斯尼克R，韩礼德D，克莱恩K S .物理学[M].约翰威利父子公司，2002年。

[2]蒋心怡，陆剑锋。异常足球运动的MATLAB仿真及其实际应用[J].大学物理2019(11)。

赵，人。基于空气动力学的旋转球体飞行轨迹的计算模拟[J].物理与工程，2020，30(03):50-54。

潘慧菊。马格努斯效应的力学模型[J].浙江体育科学，1995(03):16-19+61。

[5] E .约翰·芬内莫尔，约瑟夫·B .弗兰茨尼，约翰·芬内莫尔，等.流体力学及其工程应用[M].机械工业出版社，2006。

[6]刘大为。关于球体异常飞行轨迹的讨论[J].大学物理，1987(01):43-45。

彭东升。马格努斯效应及其在船舶上的应用[J].江苏航运，1990，007(002):23-25。

[8]赵云鹤，马·。对2019年北京高考物理24题的思考[J]。物理教师，2020，41(01):86-88。

感谢

感谢北师大物理系赵秀华老师对本文的认真阅读、排版和校对。感谢首都师范大学附属中学范老师、北京理工大学附属中学罗迪老师、中科院物理学院欧世刚老师的认真阅读和宝贵意见！

作者简介

赵云鹤，北京师范大学物理系学士、硕士，现为首都师范大学附属中学教师。他的研究兴趣是中学问题解决和研究性课程设计。

马，北京师范大学物理系学士，中国工程物理研究院博士，研究方向为有限系统热力学和黑洞信息。

来源:史静物理

编辑:小林绿子