我写过很多关于欧拉公式的文章，但这是一个我百谈不厌的话题，因为它真的太美太吸引人了。一个只有四个字符的方程包含了惊人的信息量，其意义也是非常深远的。在本文中，我们将一起看看欧拉公式是如何扩展E的定义的。

很多人第一次看到这个公式都会震惊。为什么这个等式成立？这几乎就是复数的定义了。我们可以这样写:

它扩展了e的定义，使它对复数有意义，同时对实数也有意义。先来了解一下方程的右边，和初等几何有很好的联系。

复数的可视化

我们可以把复数想象成二维平面上的一个点，用半径和角度来描述，或者用x和y坐标来定义。y轴对应& # 34；虚拟轴& # 34；x轴对应& # 34；实轴& # 34；。所以点(2，3)对应2+3i，其中I是-1的平方根。

两个复数的相加对应于它们的实部和虚部的相加。例如，(2+3i)+(1+5i)=(3+8i)。

复数的乘法可以用一种有趣的方式形象化:它对应着旋转和半径的变化。这里-1的平方根是完全有意义的，因为我们扩大了乘法的定义。点I的角度为90度，长度为1。因此，当Z点乘以I时，相当于将Z点旋转90度，长度增加一倍。当然，半径乘以1不变。如果2i乘以z，它将旋转90度并拉伸2倍。

现在，让我们做一件有趣的事情，把定义在实数上的e的规则应用到复数上，看看会发生什么！让我们把这两个数字相乘。但是，我们做的事情有点奇怪。让我们把复数写成下面的形式:

Z_1是角度和半径较大的蓝线，z_2是角度和半径较小的红线。

现在，我们把它们相乘，用视觉和代数的方式展示出来。

可视化复数乘法

视觉上，当我们把红线和蓝线(或& # 34；向量& # 34；)"乘法& # 34；，你会得到一条紫色的线。

在复数乘法中，我们加角度，乘半径。紫色线的角度是红色线的角度和蓝色线的角度之和。紫色线的长度是红色线的长度和蓝色线的长度的乘积。

现在让我们直观地看看当红线旋转时，紫线会发生什么变化。下图显示其长度保持不变，但紫线旋转方向与红线相同。

现在，让我们用一些代数来正式说明这一点:

我们看到有两个E相乘。对于实数:

所以我们试着用同样的规则来处理复数(目前还没有官方证明)。对复数使用相同的规则:

所以总的来说，我们得到了这个结果:

所以，在代数中，我们得到了我们看到的视觉效果！为了计算两个复数的乘积，我们将它们的角度相加，然后乘以它们的半径。

e，sin，cos

现在让我们看看如何写复数。我们可以用实部和复部来表示，也可以用半径和角度来表示。怎么才能把两者联系起来呢？

我们先写z = x+iy

现在，看看这两个表示。

用两种方式表示一个复数

在左图中，复数被写成实部和虚部之和。右图中，用三角函数的定义转换成用cos和sin写这两部分。

看起来很简单。现在，神奇的一幕出现了。

这就是欧拉的高明之处。他扩展了e的定义，使其自然地与复数上定义的运算相匹配。如果你上过一门关于幂级数的课程，你会更了解他的想法有多不可思议。

数学中最著名的一句话

现在，让我们来看看数学中最著名的一行字(符号):

让我们用我们的新工具来解释它:

这个公式突出了欧拉把e和复数联系起来的妙处，但其实一旦我们理解了定义和符号，就不会觉得那么复杂了。我们所做的只是把一个数从半径和角度的表示转换成实部+虚部的表示。

故事并没有到此结束。这个公式暗示了多元世界将是多么神奇。然而，直到19世纪，数学家(尤其是柯西和黎曼)才揭开了复数中微积分的秘密。

幂级数和扩展& # 34；e & # 34的定义

幂级数提供了一个很好的方法来扩展E、sin和cos的定义，从它们作为实数到实数的函数的定义到它们在复平面上的定义。

这说明欧拉的定义确实和实数的定义完美结合了。

E x，sin(x)和cos(x)都可以定义为一个幂级数。

这意味着对于每个点x，这些函数的值可以通过上面的无穷级数来估计。

现在回想一下，I 2 =-1是我们学习复数的开始。那么我们为什么不试试下面的方法呢？

我们需要简化I的所有幂:

这条规则将被重复。例如:

所以我们需要简化:

现在让我们把实部和虚部分开:

还记得sin和cos的幂级数的定义吗？如果我多写几项，你们会记得我在这一节开头写的幂级数。

我给你最后一次机会去发现它:

太神奇了！！

事实证明，以我们对I的定义，以及我们对cos，sin，E的幂级数的定义，这个公式是非常合理的。乘法的几何定义不仅看起来很酷，而且令人惊讶地将E的值与cos和sin联系起来。

最后

谁能想到！希腊人创造的用来描述圆上坐标的函数(cos和sin)与e有着神秘的联系，一旦我们将数扩展到包含负1的平方根，它就会自我微分。

这是一个奇妙的世界。