正六边形怎么画(圆内接正六边形怎么画)

这得从欧几里得说起。

闲暇之余，一个偶然的机会让我接触到了折纸这个新奇的数学领域。研究过后，我不禁感叹，真的有人骨子里是研究折纸的。如果把欧洲几何学的基础工作《几何原本》比作几何学的一个基础，那么折纸几何学就是这棵树上的一朵奇葩。

装饰欧米茄|鸣谢:Meenakshi Mukerji

就像传统几何对应尺子和指南针构造一样，折纸几何引导我们找到了另一种基本的构造方法——折纸构造。

就像它的名字一样，我们的工具是一张白纸，大部分是1×1的白纸，其他什么都没有。相比尺子画，折纸画似乎更极端。你干脆把尺子和指南针扔了，连连笔都没给你，只留下一张白纸。你希望我画什么？

然而，正是这种“比原来更原始”的方法，解决了尺子作图不会的数学难题。

截断的二十面体|鸣谢:ServeSmasher

三大问题

众所周知，传统的尺子作图并不是万能的。在《初等几何的著名问题》一书中，数学家F·克莱因详细描述了初等几何的三个难题:

1.立方问题。也叫德里安问题，是一个非常古老的几何问题。上面说的是:如何准确地做出体积为2的立方体。其实就是求长度x，让

也就是

但是，要找到它，光靠尺子是画不出来的。你可能会想，我们是不是不够聪明，找不到画画的方法？事实并非如此。事实上，数学家已经严格证明了这种不可能，这个任务理论上是不可能的。

体积为1的立方体和体积为2的立方体。

我们发现，为了准确地得出这个数字，我们需要一个可移动的直角标尺。这种用直角比例作图的方法叫做纽西斯作图法。再看看我们的主题，想一想。是啊！我们手里这张1×1的白纸，正好有这样一个直角。用折纸的方法，我们可以很容易地得到两条线段，使它们的比值正好等于。

取1×1张白纸，横向分成三份，对折，使Q点落在边L上，P点落在折痕k上，此时x/y = | credit:Philip le gner的数学折纸。

2.角三等分的问题。顾名思义，它说的是:如何准确地把任意一个角分成三份。

同样的，传统的尺子作图又失败了，但是用一张1×1的白纸，你就可以简单的得到一条射线通过角的顶点，对应的是原来角的三分之一。

对于角度α，取1×1张白纸，水平分成四份，对折，使P点落在折痕K上，Q点落在l上，此时延伸折痕K得到射线m，m与l形成的角度为《α| credit:Philip legner的数学折纸》的1/3。

3.最后一个难题是把圆变成正方形的问题。它说的是:做一个面积等于给定圆面积的正方形。

这个问题也困扰了全世界几千年。当人们还在争论它的可行性时，1882年，德国数学家林德曼(Lindemann 1852~1939)证明了圆周率(不满足任何整数系数(有理系数)的多项式方程的实数)的超越性。尺子作图仅限于加减乘除和平方根运算，对超越数显然无能为力。

一个圆和一个正方形有相同的面积

好极了，回到把圆变成正方形的问题，因为涉及到超验数)π，传统的尺子画和折纸画肯定解决不了，持续了几千年的争议终于尘埃落定。

如果我们真的想解决这个问题，我们需要一个更“高级”的阿基米德螺旋的帮助。

正多边形问题

另一个有趣的话题是关于正多边形。

利用传统的尺子作图法，可以画出标准的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等等。雷克斯还依稀记得，他上初中的时候，数学老师说他的朋友算出了用直尺做正七边形的方法。他查阅资料后发现，早在1796年，高斯就已经给出了用直尺画正七边形的步骤，并顺带证明了哪些正多边形可以用直尺画。不得不感叹数学王子的伟大。

正七边形直尺绘图

根据证明，没有办法用直尺画出有锐角的正七边形，因为它的边长涉及到常数sin(π/7)，和这个一样，是需要用立方根来表示的数。那么，折纸能解决这个问题吗？答案是肯定的。

折纸虽然可以表示立方根的个数，但要得到一个完整的正七边形并不容易。复杂的折纸过程简直是雷克斯的噩梦，一个被他的双手弄瘸的政党。可能断纸后我得不到完美的正七边形。

下面是折右七边形的步骤，勇士们可以自己试试。

七边形的折叠方法

下面是其他正多边形的简单折叠方法:

六角形的折叠方法

正五边形的折叠方法

正三角形的折叠方法

你能证明他们吗？

看个折纸gif放松一下~

# #画外音:

高斯证明了尺子作图只能做出正n边形，其中n为费马素数，即n = 2 (2 k)+1。

要知道，费马17之后的质数是257和。历史上真的有人用尺子做了一个正257边的多边形，步骤写出来有80多页。的正方形，一个叫约翰·古斯塔夫·赫尔墨斯(Johann Gustav Hermes)的人花了10年时间才第一次完成制图步骤，他的手稿总共有200多页。

参考资料:

. Wikipedia . org/wiki/Mathematics _ of _ paper _ folding # Hu zita–hato ri _ axioms