抛物线顶点坐标(抛物线顶点坐标公式h,k)

传说中的湖北中考数学题来了。

[标题]

(2018恩施州)如图所示，已知抛物线在A、B两点与X轴相交，Y轴与C点相交。a点的坐标是(﹣ 1，0)，OC=2，OB=3，d点是抛物线的顶点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是坐标平面上的一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形。求点P的坐标；

(3)若抛物线上只有M1、M2、M3三点，使△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积都是定值S，求定值S和这三点M1、M2、M3的坐标。

【回答】

解法:(1)从OC=2，OB=3，得到B (3，0)，C (0，2)，

设抛物线的解析表达式为y=a(x+1)(x﹣3)，

代入C (0，2)得到:2=﹣3a，也就是a=﹣2/3

抛物线的解析表达式为y =﹣2/3(x+1)(x﹣3)=﹣2/3x+4/3x+2；

备注:求二次函数的解析式，待定系数法。本的回答是用交点。

(2)抛物线y =﹣2/3(x+1)(x﹣3)=﹣2/3x+4/3x+2 =﹣2/3(x﹣1)+8/3，

∴D(1,8/3)，

当四边形CBPD是平行四边形时，由B (3，0)和C (0，2)得到P (4，2/3)；

当四边形CDBP为平行四边形时，由B (3，0)和C (0，2)得到P(2，﹣2/3)；

当四边形BCPD是平行四边形时，由B (3，0)和C (0，2)得到P (﹣ 2，14/3)；

备注:平行四边形存在并向三个方向运动只有三种情况。

可以用很多方法，比如平移法，比如平行四边形PCBD，可以看成BD沿BC方向平移，B点和C点重合，D点和P点重合。

B点坐标为(3，0)，C点坐标为(0，2)，相当于向左平移3个单位，向上平移2个单位。那么，由于D点的坐标是(1，8/3)，向左平移3个单位，向上平移2个单位，就可以得到(-2，14/3)。诸如此类。

(3)设BC线的解析表达式为y=kx+b，

代入B (3，0)和C (0，2)得到:3k+b=0，b=2，

得到:k=-2/3，b=2，

∴y=﹣2/3x+2，

设平行于直线BC的解析式为y=﹣2/3x+b，

厉安德:y=-2/3 x+b，y =-2/3x+4/3x+2，

消除y: 2x ﹣ 6x+3b ﹣ 6 = 0，

当直线和抛物线只有一个公共点时，△ = 36% 8 (3b% 6) = 0，

得到:b=7/2，即y=﹣2/3x+7/2、

此时，交点M1的坐标为(3/2，5/2)；

可以得出两条平行线之间的距离是√13/13，

类似地，另一个平行于BC且平行线间距离为√13/13的线性方程可以得到为y=﹣2/3x+1/2，

联立求解:M2((3-3√2)/2，√2﹣1/2)，M3((3+3√2)/2，﹣ 2 ﹣ 1/2)

此时s = 1。

注意:这个问题的本质是求△BCM的最大面积，因为当M点在BC以下时，面积会有两种情况，那么第三种情况是在BC以上，比如。因为当且仅当△BCM的面积最大，条件才满足。

易点M位于B和C之间，横坐标为B和C的平均值，即3/2。你记得为什么吗？

哈哈！

恩施土家族苗族自治州(简称恩施州)是湖北省的自治州和地级行政区。位于湖北省西南部，湖北、湖南、重庆三省(市)交界处，东经108° 23′12″-110° 38′08″，北纬29° 07′10″-31° 24′。西与重庆市黔江区接壤，北与重庆市万州区接壤，南与湖南省湘西土家族苗族自治州接壤，东与神农架林区和宜昌市接壤。周恩成立于1983年8月19日，是湖北省唯一的少数民族自治州，有土家族、苗族、侗族、汉族、回族、蒙古族、彝族、纳西族、壮族等29个民族。